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8 • Ondes, oscillations et résonances
et champs a été établie par la formule (8.17) et sa dérivée temporelle permet d’exprimer :
∂D
∂t
= jv´
·E exp ( jvt) +
∂v´
∂v
·
∂E
∂t
exp ( jvt)
∂B
∂t
= jvm
·H exp ( jvt) +
∂vm
∂v
·
∂H
∂t
exp ( jvt)
où nous avons négligé la dissipation décrite par la partie imaginaire de la permittivité
et de la perméabilité. L’énergie stockée, en moyenne sur une oscillation, dans les
champs (
E,
H), par le plasma (´
) et à travers l’interaction champ-plasma, est donc
finalement égale à :
u
J
m 3
≡
1
4
E·
∂v´
∂v
·
E
∗ +
1
4
H·
∂vm
∂v
·
H
∗
(8.18)
Dans cette formule sont comptabilisées toutes les formes d’énergie associées à
l’oscillation ; non seulement, le travail de construction des champs, mais aussi des
dipôles élémentaires constituant le milieu ; ce bilan d’énergie prend donc aussi en
compte l’énergie cinétique associée aux oscillations du plasma. Cette énergie décrit
la puissance réactive stockée dans l’onde plasma.
Un plasma peut aussi échanger de l’énergie de façon irréversible avec le champ,
le terme de dissipation décrivant la densité volumique de puissance électrique dissipée w E est donné par : w E = − Re
J p ·
E
∗
/2 = −v
E·´
·
E
∗
/2. Dans le
cas magnétique, l’échange d’énergie et le transfert de puissance champ-plasma W M
doivent être évalués à partir du travail fourni au courant de magnétisation par le
champ électrique d’induction :
W M =
J m ·
∂A
∂t
dr =
∇ × M·
∂A
∂t
dr
Cette relation est ensuite transformée en appliquant la formule d’analyse vectorielle : ∇·
∂A/∂t × M
= M·∇ × ∂A/∂t − ∂A/∂t ·∇ × M ; l’intégrale
de volume sur le terme de divergence est ramenée à une intégrale de surface
avec le théorème d’Ostrogradski et la décroissance à l’infini des champs permet conclure à sa nullité. L’intégrale de volume restante permet l’identification
directe d’une densité volumique de puissance magnétique en régime harmonique :
w M = Re
jv
M·
B
∗
/2 = Re
jvm 0
M·
H
∗
/2 = −v
H·m
·
H
∗
/2. La densité
de puissance moyenne w transférée irreversiblement du champs vers le plasma est
donc donnée par :
w
W
m 3
≡ −
1
2
v
E·´
·
E
∗
−
1
2
v
H·m
·
H
∗
(8.19)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
et champs a été établie par la formule (8.17) et sa dérivée temporelle permet d’exprimer :
∂D
∂t
= jv´
·E exp ( jvt) +
∂v´
∂v
·
∂E
∂t
exp ( jvt)
∂B
∂t
= jvm
·H exp ( jvt) +
∂vm
∂v
·
∂H
∂t
exp ( jvt)
où nous avons négligé la dissipation décrite par la partie imaginaire de la permittivité
et de la perméabilité. L’énergie stockée, en moyenne sur une oscillation, dans les
champs (
E,
H), par le plasma (´
) et à travers l’interaction champ-plasma, est donc
finalement égale à :
u
J
m 3
≡
1
4
E·
∂v´
∂v
·
E
∗ +
1
4
H·
∂vm
∂v
·
H
∗
(8.18)
Dans cette formule sont comptabilisées toutes les formes d’énergie associées à
l’oscillation ; non seulement, le travail de construction des champs, mais aussi des
dipôles élémentaires constituant le milieu ; ce bilan d’énergie prend donc aussi en
compte l’énergie cinétique associée aux oscillations du plasma. Cette énergie décrit
la puissance réactive stockée dans l’onde plasma.
Un plasma peut aussi échanger de l’énergie de façon irréversible avec le champ,
le terme de dissipation décrivant la densité volumique de puissance électrique dissipée w E est donné par : w E = − Re
J p ·
E
∗
/2 = −v
E·´
·
E
∗
/2. Dans le
cas magnétique, l’échange d’énergie et le transfert de puissance champ-plasma W M
doivent être évalués à partir du travail fourni au courant de magnétisation par le
champ électrique d’induction :
W M =
J m ·
∂A
∂t
dr =
∇ × M·
∂A
∂t
dr
Cette relation est ensuite transformée en appliquant la formule d’analyse vectorielle : ∇·
∂A/∂t × M
= M·∇ × ∂A/∂t − ∂A/∂t ·∇ × M ; l’intégrale
de volume sur le terme de divergence est ramenée à une intégrale de surface
avec le théorème d’Ostrogradski et la décroissance à l’infini des champs permet conclure à sa nullité. L’intégrale de volume restante permet l’identification
directe d’une densité volumique de puissance magnétique en régime harmonique :
w M = Re
jv
M·
B
∗
/2 = Re
jvm 0
M·
H
∗
/2 = −v
H·m
·
H
∗
/2. La densité
de puissance moyenne w transférée irreversiblement du champs vers le plasma est
donc donnée par :
w
W
m 3
≡ −
1
2
v
E·´
·
E
∗
−
1
2
v
H·m
·
H
∗
(8.19)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit