8.1 Ondes électromagnétiques
273
les valeurs moyennes des produits scalaire et vectorielle de deux vecteurs vibrants
sont donc données par :
A·B = Re
A·
B
∗
/2,
A × B = Re
A ×
B
∗
/2.
L’analyse du bilan de puissance en électrodynamique des milieux continu, en régime
harmonique, est construite à partir des bilans des variations de l’énergie électrique
dU E et de l’énergie magnétique dU M résultant d’une variation des distributions de
charge dr et de potentiel vecteur dA.
dU E =
V (r, t) dr (r, t) d
3
r,
dU M =
J (r, t) ·dA (r, t) d
3
r
La première formule exprime la variation d’énergie électrostatique due à l’apport (ou
au retrait) de charges en interaction avec un potentiel V ; sous forme infinitésimale
ce bilan ne préjuge en rien de l’interdépendance ou de l’indépendance entre les distributions de charges et le potentiel. Les charges étant en général la source du potentiel. L’expression de la variation d’énergie magnétique possède les mêmes propriétés
génériques ; le champ d’induction étant la dérivée temporelle du potentiel vecteur on
reconnaît sous l’intégrant l’opposé du travail de ce champ. Le taux de variation temporelle des énergies électrique et magnétique s’exprime uniquement en fonction des
champs ; pour établir cette expression utilisons : (i) les deux formules d’analyse vectorielle ∇· V dD = V ∇·dD+dD·∇V et ∇· (dA × H) = H·∇ × dA−dA·∇ × H,
(ii) les équations de Maxwell (2.14 et 2.18), (iii) ainsi que le théorème d’Ostrogradski, sous l’hypothèse d’une décroissance des champs à l’infini plus rapide que
l’inverse du carré de la distance. La somme des deux expressions précédentes se
présente alors sous la forme d’un bilan temporel.
∂U E
∂t
+
∂U M
∂t
=
∂D (r, t)
∂t
·E (r, t) dr +
∂B (r, t)
∂t
·H (r, t) dr
Cette forme permet d’identifier la densité volumique d’énergie électromagnétique u
et de définir la valeur moyenne u de cette densité volumique d’énergie électromagnétique.
u E (t) =
t
−∞
∂D (s)
∂s
·E (s) ds → →u E =
1
2
Re
t
−∞
∂D (s)
∂s
·E
∗ (s) ds
u M (t) =
t
−∞
∂B (s)
∂s
·H (s) ds → →u M =
1
2
Re
t
−∞
∂B (s)
∂s
·H
∗ (s) ds
où nous avons supposé que les champs étaient générés dans le passé lointain à partir d’une valeur nulle. Cette condition initiale peut être prise en compte en considérant des champs quasi-monochromatiques possédant des enveloppes évoluant sur
des échelles de temps lentes comparées à la période des oscillations. Pour ces champs
présentant deux échelles de temps, la relation linéaire entre déplacement, induction
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
273
les valeurs moyennes des produits scalaire et vectorielle de deux vecteurs vibrants
sont donc données par :
A·B = Re
A·
B
∗
/2,
A × B = Re
A ×
B
∗
/2.
L’analyse du bilan de puissance en électrodynamique des milieux continu, en régime
harmonique, est construite à partir des bilans des variations de l’énergie électrique
dU E et de l’énergie magnétique dU M résultant d’une variation des distributions de
charge dr et de potentiel vecteur dA.
dU E =
V (r, t) dr (r, t) d
3
r,
dU M =
J (r, t) ·dA (r, t) d
3
r
La première formule exprime la variation d’énergie électrostatique due à l’apport (ou
au retrait) de charges en interaction avec un potentiel V ; sous forme infinitésimale
ce bilan ne préjuge en rien de l’interdépendance ou de l’indépendance entre les distributions de charges et le potentiel. Les charges étant en général la source du potentiel. L’expression de la variation d’énergie magnétique possède les mêmes propriétés
génériques ; le champ d’induction étant la dérivée temporelle du potentiel vecteur on
reconnaît sous l’intégrant l’opposé du travail de ce champ. Le taux de variation temporelle des énergies électrique et magnétique s’exprime uniquement en fonction des
champs ; pour établir cette expression utilisons : (i) les deux formules d’analyse vectorielle ∇· V dD = V ∇·dD+dD·∇V et ∇· (dA × H) = H·∇ × dA−dA·∇ × H,
(ii) les équations de Maxwell (2.14 et 2.18), (iii) ainsi que le théorème d’Ostrogradski, sous l’hypothèse d’une décroissance des champs à l’infini plus rapide que
l’inverse du carré de la distance. La somme des deux expressions précédentes se
présente alors sous la forme d’un bilan temporel.
∂U E
∂t
+
∂U M
∂t
=
∂D (r, t)
∂t
·E (r, t) dr +
∂B (r, t)
∂t
·H (r, t) dr
Cette forme permet d’identifier la densité volumique d’énergie électromagnétique u
et de définir la valeur moyenne u de cette densité volumique d’énergie électromagnétique.
u E (t) =
t
−∞
∂D (s)
∂s
·E (s) ds → →u E =
1
2
Re
t
−∞
∂D (s)
∂s
·E
∗ (s) ds
u M (t) =
t
−∞
∂B (s)
∂s
·H (s) ds → →u M =
1
2
Re
t
−∞
∂B (s)
∂s
·H
∗ (s) ds
où nous avons supposé que les champs étaient générés dans le passé lointain à partir d’une valeur nulle. Cette condition initiale peut être prise en compte en considérant des champs quasi-monochromatiques possédant des enveloppes évoluant sur
des échelles de temps lentes comparées à la période des oscillations. Pour ces champs
présentant deux échelles de temps, la relation linéaire entre déplacement, induction
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit