272
8 • Ondes, oscillations et résonances
La relation courant-champ est un produit dans l’espace de Fourier et une convolution
dans le temps.
J (v) =
s (v)
E (v) ↔ J (t) =
dt
s
t − t
E
t
Effectuons un développement de Taylor de l’enveloppe de la vibration E 0
t
au voisinage de t ; compte tenu de l’ordering (adiabatique) fort entre l’échelle caractéristique de variation de l’enveloppe et la fréquence de la composante monochromatique
∂ E 0 /∂t vE 0 (8.15).
J (t) ≈ exp ( jvt) E 0 (t)
s
t − t
exp
− jv
t − t
dt
− j exp ( jvt)
∂ E 0
∂t
∂
∂v
s
t − t
exp
− jv
t − t
dt
+ ...
Il est ainsi possible d’exprimer la réponse à une excitation quasi-monochromatique
du type (8.15) en fonction de la conductivité harmonique s (v) et de sa dérivée.
J (t) = s (v) E 0 (t) exp ( jvt) − j
∂s (v)
∂v
∂ E 0
∂t
exp ( jvt)
(8.16)
Appliqué au cas de la polarisation et du déplacement électrique cette dernière
relation permet d’établir la relation entre déplacement D (t) et champ électrique
E 0 (t) exp ( jvt) en régime quasi-monochromatique.
D (t) = ´
(v) ·E 0 (t) exp ( jvt) − j´
(v) E 0 (t) exp ( jvt)
− j
∂´ (v)
∂v
·
∂E 0
∂t
exp ( jvt)
(8.17)
Des relations similaires peuvent être établies entre H et B, J et E, P et E. La
construction de la représentation complexe en régime monochromatique et son adaptation au régime quasi-monochromatique (8.15) permettent d’aborder la question de
l’énergétique en régime harmonique. Rappelons quelques résultats sur la moyenne
des produits de quantités oscillantes ; définissons la valeur moyenne d’une fonction
A périodique, de période T :
A =
t+T
t
A (u) du/T .
Compte tenu de l’identité :
2 cos (vu + w 1 ) cos (vu + w 2 ) = Re
exp ( jvt + w 1 ) exp (− jvt − w 1 )
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit