8.1 Ondes électromagnétiques
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De façon similaire, les propriétés magnétiques peuvent être décrites à partir d’une
représentation complexe des champs et de la perméabilité. Un champ harmonique
H (r, t) = H (r) cos (vt + w H ) peut donc être considéré comme la partie réelle
d’un champ complexe : H (r, t) = Re
H (r) exp ( jvt)
; la réponse magnétique
étant composée d’une partie en phase et d’une partie en quadrature de phase :
H cos (vt + w H ) → B = m
(v) ·H cos (vt + w H ) + m
(v) ·H sin (vt + w H ). La
perméabilité complexe
m (v) = m
(v) − jm
(v) permet de décrire ce comportement
par la relation :
B =
m (v) ·
H. Que ce soit la permittivité, ou la perméabilité, les
parties réelles de ces coefficients décrivent les phénomènes de réfraction, si l’on
parle le langage de l’opticien, ou de puissance réactive, si l’on parle le langage de
l’électronicien ; les parties imaginaires, quant à elles, décrivent les phénomènes
d’absorption ou de puissance active. La représentation complexe est particulièrement
bien adaptée à l’étude de la dispersion temporelle. Introduisons la représentation
complexe de la formule (8.11) : ∂/∂t → jv, ∂
2
/∂t
2
→ −v
2 , ∂
3
/∂t
3
→ − jv
3 .
Les dérivés impaires correspondent à des échanges réactifs de puissance et les
dérivés paires à des échanges actifs ; les dérivés paires forment la partie réelle de la
permittivité, et les dérivés impaires, la partie imaginaire.
D =
´ 1 − v
2
´ 3 + ...
E
´ (v)
− j
−v´ 2 + v
3
´ 4 + ...
´ (v)
E
Une OPMH, ou un champ harmonique, n’ont pas de sens physique car un problème bien posé doit toujours comporter des conditions initiales et des conditions
aux limites ; en effet, les champs doivent être allumés dans le passé et décroître à
grande distance afin de satisfaire aux contraintes de finitude du contenu énergetique
et des échanges de puissance. Dans l’analyse énergétique des ondes dans les plasmas on ne peut donc se satisfaire des OPMH et une enveloppe spatiale et temporelle
doivent être considérée afin de garantir un sens physique aux quantités introduites.
L’étude de champs quasi-monochromatiques du type :
E (t) = E 0 (t) exp ( jvt) ,
∂ E 0
∂t
vE 0
(8.15)
décrivant l’allumage et l’extinction d’une vibration, ainsi réduite à une durée finie,
est donc nécessaire. L’existence de l’enveloppe E 0 (t) modifie les relations classiques
de correspondance de Fourier. Considérons une composante J d’un courant excité
en régime linéaire par une composante E du champ électrique. Courant, champ et
conductivité linéaire s sont définis dans le temps et représentés dans l’espace des
fréquences (pulsations) par leur transformée de Fourier.
⎛
⎝
J (t)
E (t)
s (t)
⎞
⎠ =
1
2p
⎛
⎝
J (v)
E (v)
s (v)
⎞
⎠ exp ( jvt) dv
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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De façon similaire, les propriétés magnétiques peuvent être décrites à partir d’une
représentation complexe des champs et de la perméabilité. Un champ harmonique
H (r, t) = H (r) cos (vt + w H ) peut donc être considéré comme la partie réelle
d’un champ complexe : H (r, t) = Re
H (r) exp ( jvt)
; la réponse magnétique
étant composée d’une partie en phase et d’une partie en quadrature de phase :
H cos (vt + w H ) → B = m
(v) ·H cos (vt + w H ) + m
(v) ·H sin (vt + w H ). La
perméabilité complexe
m (v) = m
(v) − jm
(v) permet de décrire ce comportement
par la relation :
B =
m (v) ·
H. Que ce soit la permittivité, ou la perméabilité, les
parties réelles de ces coefficients décrivent les phénomènes de réfraction, si l’on
parle le langage de l’opticien, ou de puissance réactive, si l’on parle le langage de
l’électronicien ; les parties imaginaires, quant à elles, décrivent les phénomènes
d’absorption ou de puissance active. La représentation complexe est particulièrement
bien adaptée à l’étude de la dispersion temporelle. Introduisons la représentation
complexe de la formule (8.11) : ∂/∂t → jv, ∂
2
/∂t
2
→ −v
2 , ∂
3
/∂t
3
→ − jv
3 .
Les dérivés impaires correspondent à des échanges réactifs de puissance et les
dérivés paires à des échanges actifs ; les dérivés paires forment la partie réelle de la
permittivité, et les dérivés impaires, la partie imaginaire.
D =
´ 1 − v
2
´ 3 + ...
E
´ (v)
− j
−v´ 2 + v
3
´ 4 + ...
´ (v)
E
Une OPMH, ou un champ harmonique, n’ont pas de sens physique car un problème bien posé doit toujours comporter des conditions initiales et des conditions
aux limites ; en effet, les champs doivent être allumés dans le passé et décroître à
grande distance afin de satisfaire aux contraintes de finitude du contenu énergetique
et des échanges de puissance. Dans l’analyse énergétique des ondes dans les plasmas on ne peut donc se satisfaire des OPMH et une enveloppe spatiale et temporelle
doivent être considérée afin de garantir un sens physique aux quantités introduites.
L’étude de champs quasi-monochromatiques du type :
E (t) = E 0 (t) exp ( jvt) ,
∂ E 0
∂t
vE 0
(8.15)
décrivant l’allumage et l’extinction d’une vibration, ainsi réduite à une durée finie,
est donc nécessaire. L’existence de l’enveloppe E 0 (t) modifie les relations classiques
de correspondance de Fourier. Considérons une composante J d’un courant excité
en régime linéaire par une composante E du champ électrique. Courant, champ et
conductivité linéaire s sont définis dans le temps et représentés dans l’espace des
fréquences (pulsations) par leur transformée de Fourier.
⎛
⎝
J (t)
E (t)
s (t)
⎞
⎠ =
1
2p
⎛
⎝
J (v)
E (v)
s (v)
⎞
⎠ exp ( jvt) dv
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