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8 • Ondes, oscillations et résonances
On voit donc, en régime linéaire, que la forme générale des relations entre la polarisation (ou le déplacement) et le champ est un produit de convolution tensorielle.
D (r, t) =
dt
dr
´
r − r
, t − t
·E
r
, t
(8.12)
Ce régime linéaire est valable pour les champs faibles, les effets non-linéaires nécessitent de prendre en compte les réponses quadratique, cubique...
D = ´ 1 E + ´ 2 E
2 + ´ 3 E
3 + ...
Quelques effets non-linéaires, caractéristiques de l’interaction laser-plasma, seront
étudiés dans le dernier paragraphe de ce chapitre. La théorie des ondes dans les plasmas présentée ici sera restreinte au effets de dispersion temporelle qui sont dominants. Pour étudier ces effets, il est plus simple de considérer le régime harmonique ;
en effet la transformée de Fourier d’un produit de convolution tel que (8.12) est égale
au produit des transformées de Fourier.
Pour mener à bien l’étude de l’électrodynamique des milieux continus en régime
linéaire dans l’espace de Fourier des champs, qui n’est autre que l’ensemble des
OPMH, il est nécessaire d’introduire la permittivité complexe. Considérons donc un
champ électrique du type E (r, t) = E (r) cos (vt + w E ). La représentation complexe
de champs est défini par la convention :
E (r, t) = Re [E (r) cos (vt + w E ) + jE (r) sin (vt + w E )] = Re
E (r) exp ( jvt)
Le champ complexe ainsi défini,
E (r) = E (r) exp ( jw E ), est d’un usage plus aisé.
En général, lorsque un champ du type E cos (vt + w E ) est appliqué à un plasma,
le déplacement électrique D présente deux composantes, une composante en phase
avec l’excitation et une composante en quadrature de phase :
E cos (vt + w E ) → D = ´
(v) ·E cos (vt + w E ) + ´
(v) ·E sin (vt + w E ) ;
´
(v) et ´
(v) étant des coefficients réels. Introduisons la permittivité complexe
´ (v).
´ (v) = ´
(v) − j´
(v)
(8.13)
L’intérêt d’une telle définition réside dans la possibilité de relier les représentations complexes du champ électrique et du déplacement électrique par la relation :
D = ´ (v) ·
E → D (r, t) = Re
D (r) exp ( jvt)
. Les courants de polarisation
J p = ∂P/∂t admettent aussi une représentation complexe et la conductivité complexe
s p (v) peut être définie à partir de la permittivité complexe ´ r (v).
J p = jv ( ´ (v) − ´ 0 ) ·
E =
s p (v) ·
E
(8.14)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
On voit donc, en régime linéaire, que la forme générale des relations entre la polarisation (ou le déplacement) et le champ est un produit de convolution tensorielle.
D (r, t) =
dt
dr
´
r − r
, t − t
·E
r
, t
(8.12)
Ce régime linéaire est valable pour les champs faibles, les effets non-linéaires nécessitent de prendre en compte les réponses quadratique, cubique...
D = ´ 1 E + ´ 2 E
2 + ´ 3 E
3 + ...
Quelques effets non-linéaires, caractéristiques de l’interaction laser-plasma, seront
étudiés dans le dernier paragraphe de ce chapitre. La théorie des ondes dans les plasmas présentée ici sera restreinte au effets de dispersion temporelle qui sont dominants. Pour étudier ces effets, il est plus simple de considérer le régime harmonique ;
en effet la transformée de Fourier d’un produit de convolution tel que (8.12) est égale
au produit des transformées de Fourier.
Pour mener à bien l’étude de l’électrodynamique des milieux continus en régime
linéaire dans l’espace de Fourier des champs, qui n’est autre que l’ensemble des
OPMH, il est nécessaire d’introduire la permittivité complexe. Considérons donc un
champ électrique du type E (r, t) = E (r) cos (vt + w E ). La représentation complexe
de champs est défini par la convention :
E (r, t) = Re [E (r) cos (vt + w E ) + jE (r) sin (vt + w E )] = Re
E (r) exp ( jvt)
Le champ complexe ainsi défini,
E (r) = E (r) exp ( jw E ), est d’un usage plus aisé.
En général, lorsque un champ du type E cos (vt + w E ) est appliqué à un plasma,
le déplacement électrique D présente deux composantes, une composante en phase
avec l’excitation et une composante en quadrature de phase :
E cos (vt + w E ) → D = ´
(v) ·E cos (vt + w E ) + ´
(v) ·E sin (vt + w E ) ;
´
(v) et ´
(v) étant des coefficients réels. Introduisons la permittivité complexe
´ (v).
´ (v) = ´
(v) − j´
(v)
(8.13)
L’intérêt d’une telle définition réside dans la possibilité de relier les représentations complexes du champ électrique et du déplacement électrique par la relation :
D = ´ (v) ·
E → D (r, t) = Re
D (r) exp ( jvt)
. Les courants de polarisation
J p = ∂P/∂t admettent aussi une représentation complexe et la conductivité complexe
s p (v) peut être définie à partir de la permittivité complexe ´ r (v).
J p = jv ( ´ (v) − ´ 0 ) ·
E =
s p (v) ·
E
(8.14)
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