7.5 Hélicité et topologie
255
soit un champ sans force et une famille de lignes de champ fermées sur une surface
magnétique et soit C une ligne particulière (Figure 7.18). La circulation de B le
long de cette courbe C est égale au flux du courant à travers la partie de la surface
magnétique S s’appuyant sur C.
C
B·dl =
S
(∇ × B) ·nd S =
S
J·nd S
(7.36)
Or le courant est colinéaire au champ ; donc J·n = 0 car S est une surface
magnétique et B·n = 0. L’intégrale
C
B·dl est strictement positive et l’intégrale
S
J·nd S exactement nulle. La proposition de départ est donc fausse : il est
impossible qu’une famille de lignes de champ fermées appartiennent à une même
surface magnétique. Ce qui implique en général un enlacement des lignes, donc une
hélicité élevée.
S
C
Figure 7.18 Surface magnétique S et lignes de champ magnétique C.
Une classe particulière d’équilibres sans force est constituée par les équilibres dits
sans force linéaires et plus particulièrement ceux où le coefficient de proportionnalité
courant-champ l est constant :
∇ × B (r) = l [r, B (r)] B (r) → ∇ × B(r) = l(r)B(r) → ∇ × B(r) = lB(r).
Compte tenu de l’identité : ∇·B(r) = 0, une condition nécessaire, mais non suffisante, pour obtenir une solution sans force linéaire est simplement donnée par l’équation de Helmholtz : ∇
2
B(r)+l
2
B(r) = 0. Le plus simple des équilibres sans force
est donc la solution triviale :
B = B 0 sin (lz) u x + B 0 cos (lz) u y , A =
B 0
l
sin (lz) u x +
B 0
l
cos (lz) u y
illustrée par la figure (5.7).
Le paramètre l est proportionnel à l’inverse de la densité volumique d’hélicité A·B.
Cette solution possède une énergie infinie car elle occupe tout l’espace de manière
périodique. Elle peut être régularisée en considérant une solution de type onde évanescente le long de l’axe des z. Ce type de défaut est commun à nombre de solutions
d’équilibre sans force linéaires. En général, la construction d’un équilibre physiquement recevable nécessite le raccordement d’une solution sans force localisée, avec
une solution avec force qui s’annule suffisamment rapidement à l’infini.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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soit un champ sans force et une famille de lignes de champ fermées sur une surface
magnétique et soit C une ligne particulière (Figure 7.18). La circulation de B le
long de cette courbe C est égale au flux du courant à travers la partie de la surface
magnétique S s’appuyant sur C.
C
B·dl =
S
(∇ × B) ·nd S =
S
J·nd S
(7.36)
Or le courant est colinéaire au champ ; donc J·n = 0 car S est une surface
magnétique et B·n = 0. L’intégrale
C
B·dl est strictement positive et l’intégrale
S
J·nd S exactement nulle. La proposition de départ est donc fausse : il est
impossible qu’une famille de lignes de champ fermées appartiennent à une même
surface magnétique. Ce qui implique en général un enlacement des lignes, donc une
hélicité élevée.
S
C
Figure 7.18 Surface magnétique S et lignes de champ magnétique C.
Une classe particulière d’équilibres sans force est constituée par les équilibres dits
sans force linéaires et plus particulièrement ceux où le coefficient de proportionnalité
courant-champ l est constant :
∇ × B (r) = l [r, B (r)] B (r) → ∇ × B(r) = l(r)B(r) → ∇ × B(r) = lB(r).
Compte tenu de l’identité : ∇·B(r) = 0, une condition nécessaire, mais non suffisante, pour obtenir une solution sans force linéaire est simplement donnée par l’équation de Helmholtz : ∇
2
B(r)+l
2
B(r) = 0. Le plus simple des équilibres sans force
est donc la solution triviale :
B = B 0 sin (lz) u x + B 0 cos (lz) u y , A =
B 0
l
sin (lz) u x +
B 0
l
cos (lz) u y
illustrée par la figure (5.7).
Le paramètre l est proportionnel à l’inverse de la densité volumique d’hélicité A·B.
Cette solution possède une énergie infinie car elle occupe tout l’espace de manière
périodique. Elle peut être régularisée en considérant une solution de type onde évanescente le long de l’axe des z. Ce type de défaut est commun à nombre de solutions
d’équilibre sans force linéaires. En général, la construction d’un équilibre physiquement recevable nécessite le raccordement d’une solution sans force localisée, avec
une solution avec force qui s’annule suffisamment rapidement à l’infini.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit