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7 • Dynamique et structures magnétiques
Recherchons maintenant la solution d’équilibre MHD à hélicité donnée qui minimise
l’énergie magnétique, c’est-à-dire l’énergie totale à faible b. Nous allons démontrer
que la solution à ce problème variationnel est un équilibre sans force. Utilisons pour
cela la méthode des multiplicateurs de Lagrange et évaluons la variation de la combinaison linéaire de l’énergie magnétique et de l’hélicité.
d
B
2 dr − l
B·Adr
=
2B·dBdr − l
B·dAdr−l
dB·Adr
où l est le multiplicateur de Lagrange. Cette expression peut être réécrite :
2
∇· (dA × B) dr+2
(∇ × B) ·dAdr−2l
B·dAdr−l
∇· (dA × A) dr
Les deux termes de divergence peuvent être ramenés à un flux :
2
n· (dA × B) d S+2
(∇ × B−lB) ·dAdr−l
n· (dA × A) d S
Les composantes normales du champ de vitesse et du champ magnétique sont prises
égale à zéro sur la surface d’intégration, et les variations de potentiel vecteur sont
contraintes par l’hypothèse de transformation idéale dA = V × Bdt. Les deux flux
sont donc nuls et la solution minimisant l’énergie à hélicité donnée est un champ
sans force linéaire : ∇ × B−lB = 0. Ce résultat constitue le théorème de Woltjer.
BIBLIOGRAPHIE
➤ Traités généralistes de physique des plasmas abordant en profondeur
certaines problématiques MHD
• P.C. Clemmow et J.P. Dougherty, Electrodynamics of Particles and Plasmas,
Addison-Wesley, USA, 1969.
• V.E. Golant A.P. Zhilinsky et I.E. Sakharov, Fundamentals of Plasma Physics,
John Wiley & Sons, 1980.
• R.J. Golston et P.H. Rutherford, Introduction to Plasma Physics, IOP, London,
UK, 1995.
• N. A. Krall et A.W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, Mc Graw-Hill,
USA, 1973.
• D.G. Samaras, Theory of Ion Flow Dynamics, Prentice-Hall, NJ, USA, 1962.
• G. Schmidt, Physics of High Temperature Plasmas, Academic Press, New York,
USA, 1979.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
7 • Dynamique et structures magnétiques
Recherchons maintenant la solution d’équilibre MHD à hélicité donnée qui minimise
l’énergie magnétique, c’est-à-dire l’énergie totale à faible b. Nous allons démontrer
que la solution à ce problème variationnel est un équilibre sans force. Utilisons pour
cela la méthode des multiplicateurs de Lagrange et évaluons la variation de la combinaison linéaire de l’énergie magnétique et de l’hélicité.
d
B
2 dr − l
B·Adr
=
2B·dBdr − l
B·dAdr−l
dB·Adr
où l est le multiplicateur de Lagrange. Cette expression peut être réécrite :
2
∇· (dA × B) dr+2
(∇ × B) ·dAdr−2l
B·dAdr−l
∇· (dA × A) dr
Les deux termes de divergence peuvent être ramenés à un flux :
2
n· (dA × B) d S+2
(∇ × B−lB) ·dAdr−l
n· (dA × A) d S
Les composantes normales du champ de vitesse et du champ magnétique sont prises
égale à zéro sur la surface d’intégration, et les variations de potentiel vecteur sont
contraintes par l’hypothèse de transformation idéale dA = V × Bdt. Les deux flux
sont donc nuls et la solution minimisant l’énergie à hélicité donnée est un champ
sans force linéaire : ∇ × B−lB = 0. Ce résultat constitue le théorème de Woltjer.
BIBLIOGRAPHIE
➤ Traités généralistes de physique des plasmas abordant en profondeur
certaines problématiques MHD
• P.C. Clemmow et J.P. Dougherty, Electrodynamics of Particles and Plasmas,
Addison-Wesley, USA, 1969.
• V.E. Golant A.P. Zhilinsky et I.E. Sakharov, Fundamentals of Plasma Physics,
John Wiley & Sons, 1980.
• R.J. Golston et P.H. Rutherford, Introduction to Plasma Physics, IOP, London,
UK, 1995.
• N. A. Krall et A.W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, Mc Graw-Hill,
USA, 1973.
• D.G. Samaras, Theory of Ion Flow Dynamics, Prentice-Hall, NJ, USA, 1962.
• G. Schmidt, Physics of High Temperature Plasmas, Academic Press, New York,
USA, 1979.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit