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7 • Dynamique et structures magnétiques
que l’évolution MHD idéale préserve ce nombre d’enlacements et que des lignes de
champ initialement liées le restent au cours de l’évolution de la configuration magnétique.
d N
dt
= 0
Lorsque la conductivité n’est pas infinie, le champ et la matière ne sont plus couplés fortement et la diffusion magnétique permet au champ de pénétrer des zones
initialement non magnétisées. Les effets de résistivité autorisent donc un accès à
des topologies plus simples mais sur des échelles de temps résistives qui peuvent
être longues à l’échelle de l’évolution MHD. Ces résultats permettent d’appréhender
quelques propriétés universelles et globales des écoulements MHD idéaux.
7.5.2 Équilibres sans forces
Parmi toutes les solutions du problème de l’équilibre MHD, une classe particulière
se trouve souvent réalisée pour les équilibres à petit b, ce sont les équilibres dits sans
force où le courant est colinéaire au champ magnétique : J × B = 0. L’équation de
Maxwell-Ampère permet d’éliminer le courant dans la relation d’équilibre à pression
nulle. Ainsi nous obtenons une relation unique sur le champ.
J × B = 0 → [∇ × B] ×B = 0 → ∇ × B (r) = l [r, B (r)] B (r)
(7.35)
Cette équation, en apparence simple, décrit en fait des configurations souvent complexes et possédant une hélicité élevée. Nous allons d’abord étudier les raisons qui
rendent ce type d’équilibre sans force répendu, et illustrer ensuite le fait que de tels
équilibres sont nécessairement topologiquement complexes. Puis, nous étudierons le
cas des équilibres sans force linéaires. Nous montrerons que la relaxation énergétique d’une configuration à hélicité constante s’opère vers un équilibre sans force, ce
dernier résultat constituant le théorème de Woltjer.
Soit u l’angle entre le vecteur densité de courant J et le vecteur champ magnétique
B. Supposons que la longueur de gradient de la pression et la longueur de gradient
du champ magnétique soient du même ordre de grandeur. Alors l’ordre de grandeur
de u est donné par
sin u =
|J × B|
J B
=
|∇P| m 0
|∇ × B| B
≈
Pm 0
B 2 ≈ b
Pour les équilibres à faible b, la configuration est donc souvent proche d’une
configuration sans force J × B = 0.
Les équilibres sans force ont en général une structure topologique complexe et une
hélicité élevée. En particulier, il est impossible qu’une famille de lignes de champ
fermées constitue une surface magnétique. Démontrons ce résultat par l’absurde :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
7 • Dynamique et structures magnétiques
que l’évolution MHD idéale préserve ce nombre d’enlacements et que des lignes de
champ initialement liées le restent au cours de l’évolution de la configuration magnétique.
d N
dt
= 0
Lorsque la conductivité n’est pas infinie, le champ et la matière ne sont plus couplés fortement et la diffusion magnétique permet au champ de pénétrer des zones
initialement non magnétisées. Les effets de résistivité autorisent donc un accès à
des topologies plus simples mais sur des échelles de temps résistives qui peuvent
être longues à l’échelle de l’évolution MHD. Ces résultats permettent d’appréhender
quelques propriétés universelles et globales des écoulements MHD idéaux.
7.5.2 Équilibres sans forces
Parmi toutes les solutions du problème de l’équilibre MHD, une classe particulière
se trouve souvent réalisée pour les équilibres à petit b, ce sont les équilibres dits sans
force où le courant est colinéaire au champ magnétique : J × B = 0. L’équation de
Maxwell-Ampère permet d’éliminer le courant dans la relation d’équilibre à pression
nulle. Ainsi nous obtenons une relation unique sur le champ.
J × B = 0 → [∇ × B] ×B = 0 → ∇ × B (r) = l [r, B (r)] B (r)
(7.35)
Cette équation, en apparence simple, décrit en fait des configurations souvent complexes et possédant une hélicité élevée. Nous allons d’abord étudier les raisons qui
rendent ce type d’équilibre sans force répendu, et illustrer ensuite le fait que de tels
équilibres sont nécessairement topologiquement complexes. Puis, nous étudierons le
cas des équilibres sans force linéaires. Nous montrerons que la relaxation énergétique d’une configuration à hélicité constante s’opère vers un équilibre sans force, ce
dernier résultat constituant le théorème de Woltjer.
Soit u l’angle entre le vecteur densité de courant J et le vecteur champ magnétique
B. Supposons que la longueur de gradient de la pression et la longueur de gradient
du champ magnétique soient du même ordre de grandeur. Alors l’ordre de grandeur
de u est donné par
sin u =
|J × B|
J B
=
|∇P| m 0
|∇ × B| B
≈
Pm 0
B 2 ≈ b
Pour les équilibres à faible b, la configuration est donc souvent proche d’une
configuration sans force J × B = 0.
Les équilibres sans force ont en général une structure topologique complexe et une
hélicité élevée. En particulier, il est impossible qu’une famille de lignes de champ
fermées constitue une surface magnétique. Démontrons ce résultat par l’absurde :
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit