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7 • Dynamique et structures magnétiques
La deuxième composante n’est autre que l’expression 7.31.
−
S1
ds 1 ∇
2
1
C2
dl 2
|r 1 − r 2 |
=
S1
ds 1
C2
dl 2 4pd (r 1 − r 2 )
Considérons une configuration magnétique composée de deux tubes de flux fins enlacés, 1 et 2 contenant les flux F 1 et F 2 , tels que ceux représentés sur la figure 7.16.
Calculons l’hélicité associée au volume V 1 délimité par le tube 1 que nous considérerons comme le volume engendré par une surface dS le long d’une ligne de champ
fermée C 1 . Introduisons ensuite le flux F 1 = BdS caractérisant le tube de flux 1.
Compte tenu de la relation de Stokes l’intégrale curviligne le long de C 1 peut s’exprimer comme un flux à travers toute surface S 1 s’appuyant sur C 1 .
K =
V1
A·Bd
3
r =
V1
A·dlBdS = F 1
C1
A·dl = F 1
S1
B·ds
Le flux
S1
B·ds ne peut provenir que du champ créé par le tube de flux 2 :
S1
B·ds =
S1
B 2 ·ds.
L’expression de l’hélicité K peut donc s’écrire : K = F 1 F 2 et, si nous considérons
des configurations plus enlacées, le résultat devient :
K = N F 1 F 2
(7.33)
où nous avons introduit N le nombre d’enlacements entre les tubes 1 et 2 défini
par les relations (7.32) et (7.31). On voit donc que K /F 1 F 2 est un indicateur de la
complexité topologique de la configuration magnétique. Mais l’indicateur utilisé ici
est un invariant topologique d’ordre faible, qui, en comptabilisant les enlacements
de manière algébrique ne permet pas de distinguer si deux tubes de flux sont topologiquement libres ou liés. En effet, la configuration représentée sur la figure 7.17
possède une hélicité K nulle alors que les deux tubes ne peuvent être séparés sans
coupure.
Néanmoins, l’hélicité possède une propriété d’invariance dynamique qui la rend fort
utile dans de nombreux problèmes.
L’hélicité d’une configuration magnétique est conservée aux cours de l’évolution d’un fluide MHD idéal.
Soient un écoulement MHD et un volume V tel que B·n = 0 et V·n = 0 où n est le
vecteur unitaire normal à la surface S délimitant le volume V. La variation temporelle
du potentiel vecteur peut être obtenue à partir de l’équation de Maxwell-Faraday en
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
7 • Dynamique et structures magnétiques
La deuxième composante n’est autre que l’expression 7.31.
−
S1
ds 1 ∇
2
1
C2
dl 2
|r 1 − r 2 |
=
S1
ds 1
C2
dl 2 4pd (r 1 − r 2 )
Considérons une configuration magnétique composée de deux tubes de flux fins enlacés, 1 et 2 contenant les flux F 1 et F 2 , tels que ceux représentés sur la figure 7.16.
Calculons l’hélicité associée au volume V 1 délimité par le tube 1 que nous considérerons comme le volume engendré par une surface dS le long d’une ligne de champ
fermée C 1 . Introduisons ensuite le flux F 1 = BdS caractérisant le tube de flux 1.
Compte tenu de la relation de Stokes l’intégrale curviligne le long de C 1 peut s’exprimer comme un flux à travers toute surface S 1 s’appuyant sur C 1 .
K =
V1
A·Bd
3
r =
V1
A·dlBdS = F 1
C1
A·dl = F 1
S1
B·ds
Le flux
S1
B·ds ne peut provenir que du champ créé par le tube de flux 2 :
S1
B·ds =
S1
B 2 ·ds.
L’expression de l’hélicité K peut donc s’écrire : K = F 1 F 2 et, si nous considérons
des configurations plus enlacées, le résultat devient :
K = N F 1 F 2
(7.33)
où nous avons introduit N le nombre d’enlacements entre les tubes 1 et 2 défini
par les relations (7.32) et (7.31). On voit donc que K /F 1 F 2 est un indicateur de la
complexité topologique de la configuration magnétique. Mais l’indicateur utilisé ici
est un invariant topologique d’ordre faible, qui, en comptabilisant les enlacements
de manière algébrique ne permet pas de distinguer si deux tubes de flux sont topologiquement libres ou liés. En effet, la configuration représentée sur la figure 7.17
possède une hélicité K nulle alors que les deux tubes ne peuvent être séparés sans
coupure.
Néanmoins, l’hélicité possède une propriété d’invariance dynamique qui la rend fort
utile dans de nombreux problèmes.
L’hélicité d’une configuration magnétique est conservée aux cours de l’évolution d’un fluide MHD idéal.
Soient un écoulement MHD et un volume V tel que B·n = 0 et V·n = 0 où n est le
vecteur unitaire normal à la surface S délimitant le volume V. La variation temporelle
du potentiel vecteur peut être obtenue à partir de l’équation de Maxwell-Faraday en
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit