7.5 Hélicité et topologie
251
C1
C2
S1
S2
δs
Figure 7.16 Enlacement de deux tubes de flux magnétique.
L’hélicité est un invariant de jauge, c’est-à-dire une quantité physique défini et
mesurable, mais quelle est sa signification physique ? Nous allons répondre à cette
question et démontrer que l’hélicité magnétique mesure l’enlacement des lignes
de champ. Considérons pour cela la figure 7.16 représentant deux tubes de flux
magnétique, C 1 et C 2 , enlacés, c’est-à-dire topologiquement liés. Une mesure de
l’enlacement de deux courbes est fourni par le nombre N d’intersections entre la
première courbe et une surface S s’appuyant sur la deuxième courbe.
N ≡
C2
dl 2 (r 2 ) ·
S1
ds 1 (r 1 ) d [r 1 − r 2 ] =
C1
dl 1 (r 1 ) ·
S2
ds 2 (r 2 ) d [r 1 − r 2 ]
(7.31)
Cette définition peut être transformée et N peut être exprimé sous la forme plus
usuelle de l’intégrale de Gauss associée aux deux courbes.
N ≡
1
4p
C2
C2
dl 1 × dl 2 · (r 1 − r 2 )
|r 1 − r 2 |
3
(7.32)
Démontrons l’identité entre les deux expressions de N (7.32) et (7.31). Le théorème
de Stokes est d’abord mis à profit pour transformer l’intégrale curviligne sur C 1 en
une intégrale sur une surface S 1 s’appuyant sur C 1 .
4pN =
C1
dl 1 ·
C2
dl 2 × (r 1 − r 2 )
|r 1 − r 2 |
3
=
S1
ds 1 ·∇ 1 × ∇ 1 ×
C2
dl 2
|r 1 − r 2 |
L’identité : ∇ × ∇ × V = ∇ (∇·V) − ∇
2
V permet ensuite de calculer le double
rotationnel, l’une des deux composantes de l’expression étant nulle car le rotationnel
d’un gradient est identiquement nul.
∇ 1 ·
C2
dl 2
|r 1 − r 2 |
= −
C2
dl 2 · (r 1 − r 2 )
|r 1 − r 2 |
3
= −
S2
ds 2 ·∇ 2 ×
∇ 2 |r 1 − r 2 |
−1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit