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7 • Dynamique et structures magnétiques
donc les densités volumiques de courants développent une tendance à la contraction
(c’est le phénomène universel de pincement (pinch) magnétique) qui doit être équilibrée par la tendance à la détente générée par l’agitation thermique. Pour éviter le
collapse magnétique une force de pression est nécessaire, d’où la relation entre température et courant. Pour des vitesses axiales relativistes la dernière formulation de
la condition d’équilibre (7.29) peut se traduire à travers la notion de courant limite
d’Alfvén : le courant peut, au maximum, être égal au courant d’Alfvén si le
contenu énergétique des différents degrés de liberté est du même ordre de grandeur
(
v
2
x + v
2
y
∼ ∼v z c ∼ c
2 ). D’un point de vue dynamique, ce courant limite d’Alfvén
est similaire au courant limite de Child-Langmuir (J C L , 6.36), mais la limite est ici
de nature magnétique.
Ces deux limites, Alfvén et Child-Langmuir, sont dues à la rétro-action des
champs sur les sources (électriques (J C L ) ou magnétiques (I A )).
7.5 HÉLICITÉ ET TOPOLOGIE
7.5.1 Enlacement
L’hypothèse idéale en MHD, E + V × B = 0, implique un couplage fort champmatière, elle implique aussi une conservation de la complexité topologique du champ
magnétique. Pour démontrer ce résultat, introduisons une mesure de cette complexité
topologique : l’hélicité magnétique. Soit un champ magnétique B, dérivant d’un
potentiel vecteur A, l’hélicité K de cette configuration magnétique, contenue dans un
volume V, est définie comme l’intégrale du produit scalaire A·B étendu au volume
V. Le volume V est tel que la composante du champ normal à la surface délimitant
V soit nulle.
K ≡
V
A(r, t)·B(r, t)dr
(7.30)
Partant de cette définition, nous allons d’abord vérifier qu’elle est invariante de jauge,
puis, démontrer qu’elle constitue une mesure de l’enlacement des lignes de champ et
tubes de flux, et enfin, établir sont invariance lors de l’évolution MHD idéale.
Considérons donc une transformation de jauge : A → A + ∇x et calculons l’hélicité
associée à cette nouvelle représentation potentielle du champ magnétique.
K =
V
A·Bdr+
V
∇x·Bdr
Compte tenu de l’identité : ∇x·B = ∇·xB, la deuxième intégrale peut être ramenée
au calcul d’un flux sur la surface délimitant V. Or, sur cette surface, le flux de B est
nul ; la définition de l’hélicité est donc invariante de jauge. Une fois cette invariance
de jauge garantie, il convient de donner un sens physique à cette quantité.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
7 • Dynamique et structures magnétiques
donc les densités volumiques de courants développent une tendance à la contraction
(c’est le phénomène universel de pincement (pinch) magnétique) qui doit être équilibrée par la tendance à la détente générée par l’agitation thermique. Pour éviter le
collapse magnétique une force de pression est nécessaire, d’où la relation entre température et courant. Pour des vitesses axiales relativistes la dernière formulation de
la condition d’équilibre (7.29) peut se traduire à travers la notion de courant limite
d’Alfvén : le courant peut, au maximum, être égal au courant d’Alfvén si le
contenu énergétique des différents degrés de liberté est du même ordre de grandeur
(
v
2
x + v
2
y
∼ ∼v z c ∼ c
2 ). D’un point de vue dynamique, ce courant limite d’Alfvén
est similaire au courant limite de Child-Langmuir (J C L , 6.36), mais la limite est ici
de nature magnétique.
Ces deux limites, Alfvén et Child-Langmuir, sont dues à la rétro-action des
champs sur les sources (électriques (J C L ) ou magnétiques (I A )).
7.5 HÉLICITÉ ET TOPOLOGIE
7.5.1 Enlacement
L’hypothèse idéale en MHD, E + V × B = 0, implique un couplage fort champmatière, elle implique aussi une conservation de la complexité topologique du champ
magnétique. Pour démontrer ce résultat, introduisons une mesure de cette complexité
topologique : l’hélicité magnétique. Soit un champ magnétique B, dérivant d’un
potentiel vecteur A, l’hélicité K de cette configuration magnétique, contenue dans un
volume V, est définie comme l’intégrale du produit scalaire A·B étendu au volume
V. Le volume V est tel que la composante du champ normal à la surface délimitant
V soit nulle.
K ≡
V
A(r, t)·B(r, t)dr
(7.30)
Partant de cette définition, nous allons d’abord vérifier qu’elle est invariante de jauge,
puis, démontrer qu’elle constitue une mesure de l’enlacement des lignes de champ et
tubes de flux, et enfin, établir sont invariance lors de l’évolution MHD idéale.
Considérons donc une transformation de jauge : A → A + ∇x et calculons l’hélicité
associée à cette nouvelle représentation potentielle du champ magnétique.
K =
V
A·Bdr+
V
∇x·Bdr
Compte tenu de l’identité : ∇x·B = ∇·xB, la deuxième intégrale peut être ramenée
au calcul d’un flux sur la surface délimitant V. Or, sur cette surface, le flux de B est
nul ; la définition de l’hélicité est donc invariante de jauge. Une fois cette invariance
de jauge garantie, il convient de donner un sens physique à cette quantité.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit