7.4 Équilibres MHD
249
Cette dernière relation peut être intégrée pour obtenir une condition intégrale d’équilibre, la condition de Bennett.
R
0
d P
dr
r
2 dr = −
1
m 0
R
0
r B
dr B
dr
dr →
r
2 P
R
0
− 2
R
0
r Pdr
= −
1
2m 0
R
0
d
dr
r
2 B
2
P (R) = 0 → 2
R
0
r Pdr =
R
2 B
2 (R)
2m 0
=
m 0
8p 2 I
2
(7.27)
où I est le courant axial total et R le rayon du plasma. Nous allons réécrire cette
condition de Bennett, 4p
2 R
2 B
2
= m
2
0 I
2 , sous une forme mettant en lumière sont
origine et sa signification physique.
Considérons l’équilibre de type Z -pinch d’un faisceau de particules neutralisé par
un fond continu de particules de signe opposé, au repos et froides. Ce faisceau est
décrit par la fonction de distribution des vitesses f
v x , v y , v z
et la densité n (r ),
la pression, le courant et la vitesse axiale constituent un ensemble de moments
caractéristiques de cette distribution de vitesse (6.2) : P (r ) = n (r )
m
2
v
2
x + v
2
y
,
I = q
R
0
2prn (r ) v z dr.
v z =
v z f
v x , v y , v z
dv,
v
2
x + v
2
y
=
v
2
x + v
2
y
f
v x , v y , v z
dv
Introduisons le courant limite, non relativiste, d’Alfvén I A (6.38).
I A ≡
4p´ 0 m e c
3
q
= 17 kA
(7.28)
La condition de Bennett (7.27) s’exprime alors de manière remarquablement simple
et peut être interprété comme un critère d’anisotropie de la distribution de vitesse.
v
2
x + v
2
y
v z
= c
I
I A
(7.29)
Ainsi, deux situations sont possibles hors équilibre MHD :
•
v
2
x + v
2
y
> v z cI /I A le faisceau éclate sous l’effet des forces de pression,
•
v
2
x + v
2
y
< v z cI /I A le faisceau collapse sous l’effet des forces de Laplace.
Ce type de relation entre (i) le rapport d’une température sur une vitesse dirigée, et
(ii) le rapport du courant au courant d’Alfvén, est très général et se rencontre dans
toute les instabilités d’anisotropie magnétique fluide ou cinétique. Son interprétation
physique est basée sur le fait que des courants de même sens ont tendance à s’attirer,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Cette dernière relation peut être intégrée pour obtenir une condition intégrale d’équilibre, la condition de Bennett.
R
0
d P
dr
r
2 dr = −
1
m 0
R
0
r B
dr B
dr
dr →
r
2 P
R
0
− 2
R
0
r Pdr
= −
1
2m 0
R
0
d
dr
r
2 B
2
P (R) = 0 → 2
R
0
r Pdr =
R
2 B
2 (R)
2m 0
=
m 0
8p 2 I
2
(7.27)
où I est le courant axial total et R le rayon du plasma. Nous allons réécrire cette
condition de Bennett, 4p
2 R
2 B
2
= m
2
0 I
2 , sous une forme mettant en lumière sont
origine et sa signification physique.
Considérons l’équilibre de type Z -pinch d’un faisceau de particules neutralisé par
un fond continu de particules de signe opposé, au repos et froides. Ce faisceau est
décrit par la fonction de distribution des vitesses f
v x , v y , v z
et la densité n (r ),
la pression, le courant et la vitesse axiale constituent un ensemble de moments
caractéristiques de cette distribution de vitesse (6.2) : P (r ) = n (r )
m
2
v
2
x + v
2
y
,
I = q
R
0
2prn (r ) v z dr.
v z =
v z f
v x , v y , v z
dv,
v
2
x + v
2
y
=
v
2
x + v
2
y
f
v x , v y , v z
dv
Introduisons le courant limite, non relativiste, d’Alfvén I A (6.38).
I A ≡
4p´ 0 m e c
3
q
= 17 kA
(7.28)
La condition de Bennett (7.27) s’exprime alors de manière remarquablement simple
et peut être interprété comme un critère d’anisotropie de la distribution de vitesse.
v
2
x + v
2
y
v z
= c
I
I A
(7.29)
Ainsi, deux situations sont possibles hors équilibre MHD :
•
v
2
x + v
2
y
> v z cI /I A le faisceau éclate sous l’effet des forces de pression,
•
v
2
x + v
2
y
< v z cI /I A le faisceau collapse sous l’effet des forces de Laplace.
Ce type de relation entre (i) le rapport d’une température sur une vitesse dirigée, et
(ii) le rapport du courant au courant d’Alfvén, est très général et se rencontre dans
toute les instabilités d’anisotropie magnétique fluide ou cinétique. Son interprétation
physique est basée sur le fait que des courants de même sens ont tendance à s’attirer,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit