7.4 Équilibres MHD
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7.4 ÉQUILIBRES MHD
7.4.1 Équilibre MHD
Le problème de l’existence d’équilibres magnétohydrodynamiques est l’un des principaux sujets d’études des programmes de recherches sur le confinement magnétique
des plasmas thermonucléaires. De tels équilibres MHD existent et possèdent un certain nombre de propriétés que nous allons étudier ici. En régime statique, ∂/∂t = 0,
V = 0 → E = 0, les équations de la MHD se réduisent à l’équilibre entre les forces
de pression et la force de Laplace, équilibre contraint par l’équation de MaxwellAmpère.
J × B = ∇P
∇ × B = m 0 J
∇·B = 0
(7.25)
Une première conséquence de ces équations concerne l’organisation respective du
champ magnétique B, de la densité de courant J et du gradient de pression ∇P :
J·∇P = 0, B·∇P = 0, ∇·J = 0. Le gradient de pression est normal aux surfaces
isobares, les lignes de courants sont tangentes en tout point aux surfaces isobares, de
même, les lignes de champ sont tangentes en tout point aux surfaces isobares (Figure
7.12).
P = constante
Figure 7.12 Équilibre MHD, surfaces magnétiques et isobares.
Les lignes de courant et les lignes de champ ne sont pas identiques. Les surfaces
isobares sont aussi des surfaces magnétiques. Une surface magnétique est une surface
r(u, v) telle que le champ magnétique B(r) soit tangent en tout point à cette surface.
Surface magnétique r(u, v) :
∂r
∂u
×
∂r
∂v
·B(r) = 0
Cette identité entre surfaces isobares et surfaces magnétiques ne garantit pas l’existence des surfaces magnétiques. En effet, le champ de pression ne peut être fixé a
priori et résulte des processus de transport qui sont contrôlés par le champ magnétique, les collisions et/ou la turbulence. Il faut donc assurer en premier lieu l’existence de surface magnétique pour obtenir un équilibre. Ce problème de l’existence
de surfaces magnétiques est techniquement équivalent au problème de l’intégrabilité
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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7.4 ÉQUILIBRES MHD
7.4.1 Équilibre MHD
Le problème de l’existence d’équilibres magnétohydrodynamiques est l’un des principaux sujets d’études des programmes de recherches sur le confinement magnétique
des plasmas thermonucléaires. De tels équilibres MHD existent et possèdent un certain nombre de propriétés que nous allons étudier ici. En régime statique, ∂/∂t = 0,
V = 0 → E = 0, les équations de la MHD se réduisent à l’équilibre entre les forces
de pression et la force de Laplace, équilibre contraint par l’équation de MaxwellAmpère.
J × B = ∇P
∇ × B = m 0 J
∇·B = 0
(7.25)
Une première conséquence de ces équations concerne l’organisation respective du
champ magnétique B, de la densité de courant J et du gradient de pression ∇P :
J·∇P = 0, B·∇P = 0, ∇·J = 0. Le gradient de pression est normal aux surfaces
isobares, les lignes de courants sont tangentes en tout point aux surfaces isobares, de
même, les lignes de champ sont tangentes en tout point aux surfaces isobares (Figure
7.12).
P = constante
Figure 7.12 Équilibre MHD, surfaces magnétiques et isobares.
Les lignes de courant et les lignes de champ ne sont pas identiques. Les surfaces
isobares sont aussi des surfaces magnétiques. Une surface magnétique est une surface
r(u, v) telle que le champ magnétique B(r) soit tangent en tout point à cette surface.
Surface magnétique r(u, v) :
∂r
∂u
×
∂r
∂v
·B(r) = 0
Cette identité entre surfaces isobares et surfaces magnétiques ne garantit pas l’existence des surfaces magnétiques. En effet, le champ de pression ne peut être fixé a
priori et résulte des processus de transport qui sont contrôlés par le champ magnétique, les collisions et/ou la turbulence. Il faut donc assurer en premier lieu l’existence de surface magnétique pour obtenir un équilibre. Ce problème de l’existence
de surfaces magnétiques est techniquement équivalent au problème de l’intégrabilité
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit