7.3 Théorèmes d’Alfvén
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7.3.2 Théorème du gel
Nous avons considéré, lors de la modélisation MHD, que le fluide ionique et le fluide
électronique étaient fortement couplés à travers l’hypothèse de quasi-neutralité.
Le deuxième théorème d’Alfvén, dit théorème du gel, complète cette image en
identifiant un couplage fort supplémentaire entre le champ magnétique et le fluide
MHD. Dans le cadre de la MHD idéale, à champ de vitesse donné V, le fluide
entraîne le champ magnétique à travers l’équation ∇ × (V × B) = ∂B/∂t et, pour
un champ magnétique donné B, le champ entraîne le fluide à travers l’équation
r∂V/∂t + r (V·∇) V = −∇P + (∇ × B) × B/m 0 . Ces deux phénomènes sont en
fait suffisamment efficaces pour que l’on puisse considérer le champ et la matière
comme gelés ensemble lors de l’évolution dynamique. Les particules fluides
situées sur une même ligne de champ le restent au cours de l’évolution MHD
idéale. Ceci constitue l’une des formulations du théorème du gel que nous allons
maintenant démontrer.
Soient deux points voisins M 1 et M 2 situés sur une même ligne de champ à l’instant
t = 0. Soit L le vecteur reliant ces deux points : L =
−→
M 1 M 2 . L est donc un vecteur
tangent à un ligne du champ à l’instant t = 0. Le fluide s’écoulant, les points M 1 et
M 2 vont se déplacer et le vecteur L évoluer. Nous allons démontrer que cette évolution maintient L tangent aux lignes du champ, justifiant ainsi l’énoncé du théorème
du gel précédent. À l’instant t = 0 : L(t = 0) × B(r, t = 0)= 0. Démontrons que
cette propriété est conservée par la dynamique MHD idéale.
d
dt
[L(t)×B(r, t)] = L(t)×
dB(r, t)
dt
+
dL(t)
dt
×B(r, t)
Les variations de L(t) sont induites par les mouvements des points M 1 et M 2 et
les variations de B(r, t) se calculent à partir de l’évolution locale et de l’évolution
convective.
dL
dt
= V(M 2 ) − V(M 1 ) = (L·∇) V
dB
dt
= ∇ × (V × B) + (V·∇) B = (B·∇) V − B (∇·V)
La variation de L × B est donc donnée par :
d (L × B)
dt
= L × (B·∇) V − L × B (∇·V) − B× (L·∇) V
Le deuxième terme du deuxième membre est nul par hypothèse et les deux termes
restants sont égaux et de signe opposé. L’équation d’évolution se réduit donc à :
d (L × B) /dt = 0 → L × B = 0, le vecteur L reste donc tangent aux lignes
de champ. Le gel entre le champ et la matière ainsi que la conservation du flux
impliquent un certain nombre de contraintes topologiques sur les écoulements MHD
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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7.3.2 Théorème du gel
Nous avons considéré, lors de la modélisation MHD, que le fluide ionique et le fluide
électronique étaient fortement couplés à travers l’hypothèse de quasi-neutralité.
Le deuxième théorème d’Alfvén, dit théorème du gel, complète cette image en
identifiant un couplage fort supplémentaire entre le champ magnétique et le fluide
MHD. Dans le cadre de la MHD idéale, à champ de vitesse donné V, le fluide
entraîne le champ magnétique à travers l’équation ∇ × (V × B) = ∂B/∂t et, pour
un champ magnétique donné B, le champ entraîne le fluide à travers l’équation
r∂V/∂t + r (V·∇) V = −∇P + (∇ × B) × B/m 0 . Ces deux phénomènes sont en
fait suffisamment efficaces pour que l’on puisse considérer le champ et la matière
comme gelés ensemble lors de l’évolution dynamique. Les particules fluides
situées sur une même ligne de champ le restent au cours de l’évolution MHD
idéale. Ceci constitue l’une des formulations du théorème du gel que nous allons
maintenant démontrer.
Soient deux points voisins M 1 et M 2 situés sur une même ligne de champ à l’instant
t = 0. Soit L le vecteur reliant ces deux points : L =
−→
M 1 M 2 . L est donc un vecteur
tangent à un ligne du champ à l’instant t = 0. Le fluide s’écoulant, les points M 1 et
M 2 vont se déplacer et le vecteur L évoluer. Nous allons démontrer que cette évolution maintient L tangent aux lignes du champ, justifiant ainsi l’énoncé du théorème
du gel précédent. À l’instant t = 0 : L(t = 0) × B(r, t = 0)= 0. Démontrons que
cette propriété est conservée par la dynamique MHD idéale.
d
dt
[L(t)×B(r, t)] = L(t)×
dB(r, t)
dt
+
dL(t)
dt
×B(r, t)
Les variations de L(t) sont induites par les mouvements des points M 1 et M 2 et
les variations de B(r, t) se calculent à partir de l’évolution locale et de l’évolution
convective.
dL
dt
= V(M 2 ) − V(M 1 ) = (L·∇) V
dB
dt
= ∇ × (V × B) + (V·∇) B = (B·∇) V − B (∇·V)
La variation de L × B est donc donnée par :
d (L × B)
dt
= L × (B·∇) V − L × B (∇·V) − B× (L·∇) V
Le deuxième terme du deuxième membre est nul par hypothèse et les deux termes
restants sont égaux et de signe opposé. L’équation d’évolution se réduit donc à :
d (L × B) /dt = 0 → L × B = 0, le vecteur L reste donc tangent aux lignes
de champ. Le gel entre le champ et la matière ainsi que la conservation du flux
impliquent un certain nombre de contraintes topologiques sur les écoulements MHD
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit