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7 • Dynamique et structures magnétiques
la surface balayée par la courbe pendant la durée infinitésimale dt. Le flux à travers
cette surface latérale infinitésimale peut être exprimé comme la circulation le long de
la courbe de l’élément de surface latérale engendré par le mouvement de la courbe :
dl × Vdt (Figure 7.8).
C(t)
C(t+dt)
Vdt
S(t)
S(t+dt) S(t+dt)
Vdt
Figure 7.8 Théorème du flux : flux latéral.
La variation de flux précédente se réécrit donc :
dF
dt
= −
C(t)
B· (dl × V) +
S(t)
∂B(r, t)
∂t
·ds+O(dt
2 )
Le produit mixte du premier terme du deuxième membre peut être réarrangé pour
faire apparaître la circulation du champ V × B (= −E) le long de la courbe C ;
quant au deuxième terme il peut être exprimé en fonction du champ électrique à
travers l’équation de Maxwell-Faraday. Nous obtenons ainsi la différence entre deux
termes que le théorème de Stokes rend égaux et la variation de flux est donc nulle.
dF
dt
= −
C(t)
(V × B) ·dl+
S(t)
∂B(r, t)
∂t
·ds
=
C(t)
E·dl−
S(t)
∇ × E·ds = 0
Ce résultat constitue le premier théorème d’Alfvén ou théorème du flux.
d
dt
F [B(r, t), C(r, t)] = 0
(7.23)
Cette propriété étant vraie pour un circuit quelconque, elle implique un très fort couplage entre le fluide et le champ et permet de dégager un image physique où le fluide
et le champ sont attachés dans une évolution commune, le deuxième théorème
d’Alfvén confirme et complète cette image.Ce résultat est à rapprocher de l’invariance adiabatique de l’invariant de flux établie lors de l’étude des orbites de particules chargées dans des champs non stationnaires et inhomogènes (5.3).
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