7.3 Théorèmes d’Alfvén
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7.3 THÉORÈMES D’ALFVÉN
Les deux théorèmes que nous allons démontrer ici caractérisent le régime non dissipatif de la MHD où R M 1.
7.3.1 Théorème du flux
Soit un fluide MHD idéal de vitesse V donnée, dont la dynamique magnétique est
contrainte par l’équation de Maxwell-Faraday et la loi d’Ohm.
Loi d’Ohm en MHD idéal : E + V × B = 0
Équation de Maxwell-Faraday : ∇ × E = −
∂B
∂t
Considérons une courbe fermée, C(t), plongée dans ce fluide et attachée à ce fluide.
Soit S(t) une surface orientée s’appuyant sur C(t). Cette courbe est entraînée par
l’écoulement du fluide et se déforme sous l’effet de l’inhomogénéité de l’écoulement
(Figure 7.7).
B
C(t')
C(t)
V
Figure 7.7 Théorème du flux : entraînement du circuit C (t).
De même, à travers les équations précédentes, cet écoulement modifie la valeur du
champ magnétique.
Malgré ces variations de champ et l’évolution de la surface S le flux du champ
magnétique F à travers la courbe C reste constant.
Pour démontrer ce théorème du flux considérons la variation temporelle du flux F(t)
durant un temps dt.
dF =
S(t+dt)
B(r, t + dt)·ds−
S(t)
B(r, t)·ds
=
S(t+dt)
B(r, t)·ds−
S(t)
B(r, t)·ds+
S(t+dt)
dt
∂B(r, t)
∂t
·ds
Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée étant nul, la somme
des deux premiers termes du deuxième membre est égale aux flux de B à travers
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