7.2 Diffusion magnétique
235
Éliminons le courant et le champ électique entre ces trois équations pour obtenir
l’équation de transport du champ magnétique.
∂B
∂t
−∇× (v × B) =
1
m 0 h
B
(7.16)
Le transport du champ apparaît comme la combinaison du terme convectif,
∇× (v × B), que nous décrirons plus en détail à l’aide des théorèmes d’Alfvén, et
du terme de diffusion magnétique, identifié précédemment dans le cadre de l’étude
de la relaxation électronique (3.23). L’ordre de grandeur du rapport de ces deux
termes permet d’introduire le nombre de Reynolds magnétique. Si nous normalisons
les vitesses à une vitesse caractéristique V et les longueurs à une longueur caractéristique L : V = v/V et X = x/L, l’équation de transport magnétique en régime
stationnaire se réécrit sous forme normalisée :
B + R M ∇× (V × B) = 0
(7.17)
Ainsi, nous faisons apparaître le nombre de Reynolds magnétique R M = m 0 hV L
comme paramètre de contrôle de l’équation du transport magnétique stationnaire.
R M ≡
Convection du champ magnétique
Diffusion du champ magnétique
≈ m 0 hV L =
V L
D M
=
V
c
v p
n
L
l p
(7.18)
• Lorsque la conductivité h → +∞ alors R M → +∞ et le mélange diffusif champplasma est extrêmement lent car D M → 0 (3.23) ; le terme de convection est alors
dominant et la dynamique du fluide MHD est idéale. Dans ce cas, il est possible de
construire des invariants quantifiant l’impossibilité de mélanger ou de séparer le
champ et le plasma. Nous allons construire ces invariants de la dynamique MHD
idéale dans le paragraphe suivant.
• Lorsque R M 1, la dynamique du plasma est contrôlée par sa résistivité et la
diffusion devient dominante.
Il est instructif d’étudier le phénomène de pénétration diffusive et convective
en présence d’un écoulement perpendiculaire aux lignes de champ magnétique.
Afin d’illustrer les caractéristiques de cette diffusion forcée par un écoulement,
considérons une structure simple d’écoulement et de champ : V = V (z)u x et
B = b(z)u x + Bu z , illustrée par la figure 7.4.
En régime stationnaire, la dynamique du champ B subissant l’influence d’un écoulement donné V est décrite par l’équation (7.17) :
m 0 hB
dV
dz
= −
d
2 b
dz 2 → m 0 hBV = −
db
dz
(7.19)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Éliminons le courant et le champ électique entre ces trois équations pour obtenir
l’équation de transport du champ magnétique.
∂B
∂t
−∇× (v × B) =
1
m 0 h
B
(7.16)
Le transport du champ apparaît comme la combinaison du terme convectif,
∇× (v × B), que nous décrirons plus en détail à l’aide des théorèmes d’Alfvén, et
du terme de diffusion magnétique, identifié précédemment dans le cadre de l’étude
de la relaxation électronique (3.23). L’ordre de grandeur du rapport de ces deux
termes permet d’introduire le nombre de Reynolds magnétique. Si nous normalisons
les vitesses à une vitesse caractéristique V et les longueurs à une longueur caractéristique L : V = v/V et X = x/L, l’équation de transport magnétique en régime
stationnaire se réécrit sous forme normalisée :
B + R M ∇× (V × B) = 0
(7.17)
Ainsi, nous faisons apparaître le nombre de Reynolds magnétique R M = m 0 hV L
comme paramètre de contrôle de l’équation du transport magnétique stationnaire.
R M ≡
Convection du champ magnétique
Diffusion du champ magnétique
≈ m 0 hV L =
V L
D M
=
V
c
v p
n
L
l p
(7.18)
• Lorsque la conductivité h → +∞ alors R M → +∞ et le mélange diffusif champplasma est extrêmement lent car D M → 0 (3.23) ; le terme de convection est alors
dominant et la dynamique du fluide MHD est idéale. Dans ce cas, il est possible de
construire des invariants quantifiant l’impossibilité de mélanger ou de séparer le
champ et le plasma. Nous allons construire ces invariants de la dynamique MHD
idéale dans le paragraphe suivant.
• Lorsque R M 1, la dynamique du plasma est contrôlée par sa résistivité et la
diffusion devient dominante.
Il est instructif d’étudier le phénomène de pénétration diffusive et convective
en présence d’un écoulement perpendiculaire aux lignes de champ magnétique.
Afin d’illustrer les caractéristiques de cette diffusion forcée par un écoulement,
considérons une structure simple d’écoulement et de champ : V = V (z)u x et
B = b(z)u x + Bu z , illustrée par la figure 7.4.
En régime stationnaire, la dynamique du champ B subissant l’influence d’un écoulement donné V est décrite par l’équation (7.17) :
m 0 hB
dV
dz
= −
d
2 b
dz 2 → m 0 hBV = −
db
dz
(7.19)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit