7.1 Magnétohydrodynamique
233
Nous allons calculer les caractéristiques de cette interface et la condition de l’équilibre champ-fluide.
En régime stationnaire la dynamique des quatre inconnues décrivant le fluide et le
champ,
n (x) , v x (x) , v y (x) , b (x)
, est déterminée par les quatre équations :
Équations d’Euler
: mv x
dv x
dx
− qv y b = 0, mv x
dv y
dx
+ qv x b = 0
Équation de continuité :
d
dx
[nv x ] = 0
Équation de Maxwell-Ampère :
db
dx
+ qm 0 nv y = 0
(7.15)
Afin de résoudre ce système de quatre équations à quatre inconnues introduisons un
système de variables et d’inconnues normalisées :
n (x) , v x (x) , v y (x) , b (x) , a (x)
→ [N (X ) , V (X ) , W (X ) , B (X ) , A (X )]
où la variable de position normalisée X et les densité, vitesse et champs normalisés
sont définis par :
N =
n
n 0
, V =
v x
v 0
, W =
v y
v 0
, B =
b
b 0
, A =
qa
mv 0
et X = qb 0 x/mv 0 = x/r L0 où r L0 est le rayon de Larmor associé à la vitesse v 0 dans
le champ de réference b 0 . Le système des cinq équations différentielles vérifiées par
N (X ), V (X ), W (X ), B (X ) et A (X ) est donc donné par :
Fluide
: V
dV
d X
= W B,
V
dW
d X
+ V B = 0,
d N V
d X
= 0
Champ
:
d B
d X
+
b
2
N W = 0,
d A
d X
= B
où nous avons défini b, le paramètre bêta de l’écoulement : b = 2m 0 n 0 mv
2
0 /b
2
0 . Ce
système d’équations permet de construire trois invariants traduisant (i) la conservation de l’énergie, (ii) du nombre de particules et (iii) du moment canonique suivant la
direction des y : W + A = 0, V
2 + A
2
= 1, N V = 1. L’équation de Maxwell-Ampère
peut alors être exprimée en fonction du potentiel normalisé A.
d
2 A
d X 2 =
b
2
A
√
1 − A 2
→
d A
d X
=
b
1 −
1 − A 2
Dans la zone d’écoulement posons : A (X ) = sin 2f et 0 f p/4. La relation de
Maxwell-Ampère peut être intégrée pour exprimer X en fonction de f et le profil du
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Nous allons calculer les caractéristiques de cette interface et la condition de l’équilibre champ-fluide.
En régime stationnaire la dynamique des quatre inconnues décrivant le fluide et le
champ,
n (x) , v x (x) , v y (x) , b (x)
, est déterminée par les quatre équations :
Équations d’Euler
: mv x
dv x
dx
− qv y b = 0, mv x
dv y
dx
+ qv x b = 0
Équation de continuité :
d
dx
[nv x ] = 0
Équation de Maxwell-Ampère :
db
dx
+ qm 0 nv y = 0
(7.15)
Afin de résoudre ce système de quatre équations à quatre inconnues introduisons un
système de variables et d’inconnues normalisées :
n (x) , v x (x) , v y (x) , b (x) , a (x)
→ [N (X ) , V (X ) , W (X ) , B (X ) , A (X )]
où la variable de position normalisée X et les densité, vitesse et champs normalisés
sont définis par :
N =
n
n 0
, V =
v x
v 0
, W =
v y
v 0
, B =
b
b 0
, A =
qa
mv 0
et X = qb 0 x/mv 0 = x/r L0 où r L0 est le rayon de Larmor associé à la vitesse v 0 dans
le champ de réference b 0 . Le système des cinq équations différentielles vérifiées par
N (X ), V (X ), W (X ), B (X ) et A (X ) est donc donné par :
Fluide
: V
dV
d X
= W B,
V
dW
d X
+ V B = 0,
d N V
d X
= 0
Champ
:
d B
d X
+
b
2
N W = 0,
d A
d X
= B
où nous avons défini b, le paramètre bêta de l’écoulement : b = 2m 0 n 0 mv
2
0 /b
2
0 . Ce
système d’équations permet de construire trois invariants traduisant (i) la conservation de l’énergie, (ii) du nombre de particules et (iii) du moment canonique suivant la
direction des y : W + A = 0, V
2 + A
2
= 1, N V = 1. L’équation de Maxwell-Ampère
peut alors être exprimée en fonction du potentiel normalisé A.
d
2 A
d X 2 =
b
2
A
√
1 − A 2
→
d A
d X
=
b
1 −
1 − A 2
Dans la zone d’écoulement posons : A (X ) = sin 2f et 0 f p/4. La relation de
Maxwell-Ampère peut être intégrée pour exprimer X en fonction de f et le profil du
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit