230
7 • Dynamique et structures magnétiques
Les huit équations de la MHD idéale sont donc données par :
Conservation de la masse :
∂r
∂t
= −∇·rV
Équation d’état :
d
dt
P
r g
= 0
Équation d’Euler :
∂V
∂t
= − (V·∇) V −
∇P
r
+
∇ × B
rm 0
× B
Équation de Maxwell-Faraday :
∂B
∂t
= ∇ × (V × B)
(7.11)
Les problèmes de MHD diffèrent totalement des problèmes d’électrodynamique des
milieux continus (EMC) car ici le champ magnétique est une variable primaire permettant d’évaluer le champ électrique et les sources, alors que dans un problème
d’EMC le champ électrique est la source de la dynamique permettant d’évaluer le
comportement des charges et courants, l’expression de ces courants débouche ensuite
sur le calcul du champ magnétique.
Afin de conclure ce paragraphe sur le modèle MHD il est nécessaire d’établir le
lien entre ce modèle fluide et la théorie des dérives qui a été développée dans
le cadre d’un ordering adiabatique, similaire à celui de la MHD, au chapitre
cinq. Nous avons établi, dans le cadre de la théorie des dérives (Tableau 5.1)
l’existence de vitesses de dérives superposées aux rotations cyclotroniques :
V ⊥ = V c + V DG + V DC + E × B/B
2 . A l’ordre zéro le terme de dérive se
réduit au terme électrique et les dérives électriques ioniques et électroniques
s’ajoutent. Ce résultat est similaire à la relation champ-vitesse de la MHD
idéale : E + V × B = 0 → V ⊥ = E × B/B
2 . Mais, les dérives électriques
ne génèrent pas de courant, car elles sont indépendantes du signe de la charge.
L’ordre suivant est donc nécessaire pour calculer les courants de dérives (5.21) :
J ⊥ = J DG + J DC + J m = −∇P×B/B
2 . Ce résultat est conforme à l’équation
de l’équilibre MHD (V = 0) : −∇P + J × B = 0 → J ⊥ = −∇P×B/B
2 .
Les termes d’accélération ne peuvent être comparés car il ont été négligés dans la
théorie adiabatique des trajectoires. Ainsi, en régime adiabatique, la dynamique des
particules décrite par la théorie des dérives et la dynamique du fluide MHD offrent
deux cadres complètement cohérents entre eux.
7.1.2 Pression magnétique
Un équilibre MHD, ou un écoulement MHD, résultent de l’action de deux forces, la
force de Laplace : J × B, et la force de pression cinétique : −∇P. Il est instructif de
réécrire la force de Laplace en fonction du champ magnétique seul et d’interpréter
les deux termes ainsi obtenus comme des pressions et tensions exercées par le champ
sur le plasma.
m 0 J × B = ∇ × B × B = (B·∇) B−
1
2
∇B
2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
7 • Dynamique et structures magnétiques
Les huit équations de la MHD idéale sont donc données par :
Conservation de la masse :
∂r
∂t
= −∇·rV
Équation d’état :
d
dt
P
r g
= 0
Équation d’Euler :
∂V
∂t
= − (V·∇) V −
∇P
r
+
∇ × B
rm 0
× B
Équation de Maxwell-Faraday :
∂B
∂t
= ∇ × (V × B)
(7.11)
Les problèmes de MHD diffèrent totalement des problèmes d’électrodynamique des
milieux continus (EMC) car ici le champ magnétique est une variable primaire permettant d’évaluer le champ électrique et les sources, alors que dans un problème
d’EMC le champ électrique est la source de la dynamique permettant d’évaluer le
comportement des charges et courants, l’expression de ces courants débouche ensuite
sur le calcul du champ magnétique.
Afin de conclure ce paragraphe sur le modèle MHD il est nécessaire d’établir le
lien entre ce modèle fluide et la théorie des dérives qui a été développée dans
le cadre d’un ordering adiabatique, similaire à celui de la MHD, au chapitre
cinq. Nous avons établi, dans le cadre de la théorie des dérives (Tableau 5.1)
l’existence de vitesses de dérives superposées aux rotations cyclotroniques :
V ⊥ = V c + V DG + V DC + E × B/B
2 . A l’ordre zéro le terme de dérive se
réduit au terme électrique et les dérives électriques ioniques et électroniques
s’ajoutent. Ce résultat est similaire à la relation champ-vitesse de la MHD
idéale : E + V × B = 0 → V ⊥ = E × B/B
2 . Mais, les dérives électriques
ne génèrent pas de courant, car elles sont indépendantes du signe de la charge.
L’ordre suivant est donc nécessaire pour calculer les courants de dérives (5.21) :
J ⊥ = J DG + J DC + J m = −∇P×B/B
2 . Ce résultat est conforme à l’équation
de l’équilibre MHD (V = 0) : −∇P + J × B = 0 → J ⊥ = −∇P×B/B
2 .
Les termes d’accélération ne peuvent être comparés car il ont été négligés dans la
théorie adiabatique des trajectoires. Ainsi, en régime adiabatique, la dynamique des
particules décrite par la théorie des dérives et la dynamique du fluide MHD offrent
deux cadres complètement cohérents entre eux.
7.1.2 Pression magnétique
Un équilibre MHD, ou un écoulement MHD, résultent de l’action de deux forces, la
force de Laplace : J × B, et la force de pression cinétique : −∇P. Il est instructif de
réécrire la force de Laplace en fonction du champ magnétique seul et d’interpréter
les deux termes ainsi obtenus comme des pressions et tensions exercées par le champ
sur le plasma.
m 0 J × B = ∇ × B × B = (B·∇) B−
1
2
∇B
2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit