7.1 Magnétohydrodynamique
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est valide car la finitude du courant J et la loi d’Ohm généralisée (7.7) :
J = −v c (J × b) /n + h (E + V × B), doivent être satisfaites simultanément.
L’interprétation de cette relation fondamentale du modèle MHD idéale est
directe : cette relation exprime le fait que le champ électrique dans le repère en
mouvement avec le fluide, où il doit être corrigé du terme d’induction V × B,
est nul.
Ceci est dû au fait que l’hypothèse de conductivité infinie autorise un réajustement
instantané des charges pour annuler les champs électriques, que leur origine soit
potentielle ou inductive, conformément à la tendance générale à l’écrantage et à la
quasi-neutralisation.
La loi d’Ohm (7.9) ou la relation de la MHD idéale (7.10) et l’équation du mouvement (7.4) doivent être complétées par les équations décrivant l’évolution des champs
électriques et magnétiques. Pour ce qui concerne l’équation de Maxwell-Gauss elle
est remplacée par l’hypothèse de quasi-neutralité.
Les 14 inconnues du modèle MHD,
P, r, V, J, B, E
, satisfont donc à un
système de 14 équations décrivant respectivement la conservation de la masse,
la conservation de l’impulsion, l’équation d’état, la loi d’Ohm généralisée et
les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère.
Ce système d’équations décrit l’évolution (et l’équilibre) des plasmas lorsque la
dynamique est lente, c’est-à-dire lorsque les échelles de temps caractéristiques sont
plus longues que la période cyclotronique ionique et lorsque les échelles caractéristiques de longueur sont plus grandes que le rayon de Larmor ionique r Li .
Plusieurs simplifications supplémentaires peuvent être considérées telles que les
écoulements stationnaires, V = 0, ∂/∂t = 0, et les équilibres statiques, V = 0,
∂/∂t = 0. Une situation particulièrement répandue est celle des plasmas chauds
tels que la conductivité de Spitzer puisse être considérée comme infinie, h → ∞.
Une telle situation est appelée modèle MHD idéale et pour de tels plasmas les
variables électriques, magnétiques et cinématiques sont simplement reliées par la
relation algébrique (7.10) ; cette hypothèse de conductivité infinie permet d’écrire le
système des équations de la MHD idéale comme un système couplé de 8 équations
à 8 inconnues :
P, r, V, B
. Pour ce qui concerne l’équation de Maxwell-Ampère,
le courant de déplacement est beaucoup plus petit que le courant de conduction.
En effet, soit L l’échelle de longueur caractéristique du problème considéré et soit
V l’échelle de vitesse caractéristique, alors ∇ × B ≈ B/L et dans la limite idéale
(7.10) h → ∞ ⇒ m 0 ´ 0 ∂E/∂t ≈ V
2 B/Lc
2 ; le rapport |∇ × B/m 0 ´ 0 ∂E/∂t| est
donc de l’ordre de V
2
/c
2 . Les vitesses d’écoulement étant non relativistes, il en
résulte J ´ 0 ∂E/∂t.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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est valide car la finitude du courant J et la loi d’Ohm généralisée (7.7) :
J = −v c (J × b) /n + h (E + V × B), doivent être satisfaites simultanément.
L’interprétation de cette relation fondamentale du modèle MHD idéale est
directe : cette relation exprime le fait que le champ électrique dans le repère en
mouvement avec le fluide, où il doit être corrigé du terme d’induction V × B,
est nul.
Ceci est dû au fait que l’hypothèse de conductivité infinie autorise un réajustement
instantané des charges pour annuler les champs électriques, que leur origine soit
potentielle ou inductive, conformément à la tendance générale à l’écrantage et à la
quasi-neutralisation.
La loi d’Ohm (7.9) ou la relation de la MHD idéale (7.10) et l’équation du mouvement (7.4) doivent être complétées par les équations décrivant l’évolution des champs
électriques et magnétiques. Pour ce qui concerne l’équation de Maxwell-Gauss elle
est remplacée par l’hypothèse de quasi-neutralité.
Les 14 inconnues du modèle MHD,
P, r, V, J, B, E
, satisfont donc à un
système de 14 équations décrivant respectivement la conservation de la masse,
la conservation de l’impulsion, l’équation d’état, la loi d’Ohm généralisée et
les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère.
Ce système d’équations décrit l’évolution (et l’équilibre) des plasmas lorsque la
dynamique est lente, c’est-à-dire lorsque les échelles de temps caractéristiques sont
plus longues que la période cyclotronique ionique et lorsque les échelles caractéristiques de longueur sont plus grandes que le rayon de Larmor ionique r Li .
Plusieurs simplifications supplémentaires peuvent être considérées telles que les
écoulements stationnaires, V = 0, ∂/∂t = 0, et les équilibres statiques, V = 0,
∂/∂t = 0. Une situation particulièrement répandue est celle des plasmas chauds
tels que la conductivité de Spitzer puisse être considérée comme infinie, h → ∞.
Une telle situation est appelée modèle MHD idéale et pour de tels plasmas les
variables électriques, magnétiques et cinématiques sont simplement reliées par la
relation algébrique (7.10) ; cette hypothèse de conductivité infinie permet d’écrire le
système des équations de la MHD idéale comme un système couplé de 8 équations
à 8 inconnues :
P, r, V, B
. Pour ce qui concerne l’équation de Maxwell-Ampère,
le courant de déplacement est beaucoup plus petit que le courant de conduction.
En effet, soit L l’échelle de longueur caractéristique du problème considéré et soit
V l’échelle de vitesse caractéristique, alors ∇ × B ≈ B/L et dans la limite idéale
(7.10) h → ∞ ⇒ m 0 ´ 0 ∂E/∂t ≈ V
2 B/Lc
2 ; le rapport |∇ × B/m 0 ´ 0 ∂E/∂t| est
donc de l’ordre de V
2
/c
2 . Les vitesses d’écoulement étant non relativistes, il en
résulte J ´ 0 ∂E/∂t.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit