7.1 Magnétohydrodynamique
227
soumis aux forces de pression et de Laplace.
r
dV
dt
= −∇P + J × B
(7.4)
D’autre part, il est possible d’exprimer la friction électrons-ions, n(V e − V i ), en
fonction de la densité volumique de courant J : n(V i − V e ) = nJ/en e ; puis, de
réécrire l’équation d’Euler électronique (7.3) sous la forme :
dV e
dt
= −
∇P e
n e m e
−
e
m e
(E + V e × B) +
n
n e e
J
(7.5)
afin d’établir une relation portant principalement sur J. Pour ce faire, il convient
aussi d’exprimer la vitesse électronique V e en fonction des variables MHD J et V :
V e = V i − J/n e e ≈ V − J/n e e, et de réécrire le membre de droite de l’équation
électronique (7.5) en substituant cette dernière relation, pour obtenir la loi d’Ohm
dite généralisée :
E + V × B −
m e n
n e e 2 J −
J × B
n e e
+
∇P e
n e e
+
m e
e
dV e
dt
= 0
(7.6)
Le terme dV e /dt est appelé terme d’inertie électronique et n’est significatif que sur
des longueurs de l’ordre de grandeur de la longueur de London qui est toujours inférieure à la longueur de Kelvin associée à la pénétration résistive du champ magnétique. Cette dernière longueur est décrite par le terme nJ/n e e ; ce terme dV e /dt sera
donc négligé dans la suite. Le terme électronique ∇P e décrit la génération de courant
diffusive due aux gradient de densité électronique ; ce processus a été étudié dans le
chapitre précédent. Ce terme ne devient important que lorsque les gradients macroscopiques sont de l’ordre de grandeur du rayon de Larmor (5.6). Ce terme est donc
négligeable à l’échelle d’un modèle fluide.
Introduisons la conductivité h, dite de Spitzer, définie par la relation :
h ≡
n e e
2
m e n
≈ 10
4
×
T e
1eV
3
2
S
m
Pour un plasma d’hydrogène à 100 eV cette conductivité est de l’ordre de grandeur
de celle de l’acier, pour une température de 1 KeV elle devient comparable à la
conductivité du cuivre à température ordinaire. Les deux derniers termes de l’équation précédente étant négligeables, la loi d’Ohm généralisée devient :
J+
v ce
n
(J × b)
Hall
=hE
Ohm
+ hV × B
Faraday
(7.7)
Les trois termes restants sont associés à l’effet Hall, que nous avons identifié au
chapitre précédent (6.15), à la composante inductive du champ électrique et à la
loi d’Ohm, identifiée au chapitre deux (2.9). Cette relation est en fait une équation
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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soumis aux forces de pression et de Laplace.
r
dV
dt
= −∇P + J × B
(7.4)
D’autre part, il est possible d’exprimer la friction électrons-ions, n(V e − V i ), en
fonction de la densité volumique de courant J : n(V i − V e ) = nJ/en e ; puis, de
réécrire l’équation d’Euler électronique (7.3) sous la forme :
dV e
dt
= −
∇P e
n e m e
−
e
m e
(E + V e × B) +
n
n e e
J
(7.5)
afin d’établir une relation portant principalement sur J. Pour ce faire, il convient
aussi d’exprimer la vitesse électronique V e en fonction des variables MHD J et V :
V e = V i − J/n e e ≈ V − J/n e e, et de réécrire le membre de droite de l’équation
électronique (7.5) en substituant cette dernière relation, pour obtenir la loi d’Ohm
dite généralisée :
E + V × B −
m e n
n e e 2 J −
J × B
n e e
+
∇P e
n e e
+
m e
e
dV e
dt
= 0
(7.6)
Le terme dV e /dt est appelé terme d’inertie électronique et n’est significatif que sur
des longueurs de l’ordre de grandeur de la longueur de London qui est toujours inférieure à la longueur de Kelvin associée à la pénétration résistive du champ magnétique. Cette dernière longueur est décrite par le terme nJ/n e e ; ce terme dV e /dt sera
donc négligé dans la suite. Le terme électronique ∇P e décrit la génération de courant
diffusive due aux gradient de densité électronique ; ce processus a été étudié dans le
chapitre précédent. Ce terme ne devient important que lorsque les gradients macroscopiques sont de l’ordre de grandeur du rayon de Larmor (5.6). Ce terme est donc
négligeable à l’échelle d’un modèle fluide.
Introduisons la conductivité h, dite de Spitzer, définie par la relation :
h ≡
n e e
2
m e n
≈ 10
4
×
T e
1eV
3
2
S
m
Pour un plasma d’hydrogène à 100 eV cette conductivité est de l’ordre de grandeur
de celle de l’acier, pour une température de 1 KeV elle devient comparable à la
conductivité du cuivre à température ordinaire. Les deux derniers termes de l’équation précédente étant négligeables, la loi d’Ohm généralisée devient :
J+
v ce
n
(J × b)
Hall
=hE
Ohm
+ hV × B
Faraday
(7.7)
Les trois termes restants sont associés à l’effet Hall, que nous avons identifié au
chapitre précédent (6.15), à la composante inductive du champ électrique et à la
loi d’Ohm, identifiée au chapitre deux (2.9). Cette relation est en fait une équation
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit