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7 • Dynamique et structures magnétiques
ionique. L’évolution d’un plasma dans un tel régime peut être décrite par la dynamique d’un fluide unique dont l’inertie est principalement due aux ions et la mobilité
aux électrons.
La magnétohydrodynamique, MHD, est construite en premier lieu à partir de l’hypothèse de quasi-neutralité qui n’autorise pas le développement de champ électrique
à caractère potentiel : n e − n i n e + n i . En fait, l’hypothèse de quasi-neutralité
est à reconsidérer en présence de champs inductifs ; en présence de tels champs le
réarrangement des charges s’effectue pour écranter la force électrique dans le repère
au repos du fluide (2.1) : eE+eV ×B. Nous verrons que l’hypothèse supplémentaire
de la MHD idéale viendra naturellement confirmer ce point de vue.
Dans ce chapitre nous considérerons un plasma d’hydrogène, c’est-à-dire tel que
Z = 1, et les fréquences cyclotroniques (5.4) seront prise égales à leurs valeurs
absolues : v ce,ci = |v ce,ci |. La première étape de la construction du modèle MHD
consiste à définir un jeu de variables réduites ; en premier lieu la densité volumique
de masse du fluide MHD : r ≡ n e m e + n i m i où n i et n e sont les densités ionique et
électronique, et m i et m e les masses ionique et électronique. Compte tenu du rapport
de masse m e /m i 1, cette densité volumique de masse est dominée par l’inertie
ionique : r ≈ n i m i . De même, la vitesse moyenne du fluide MHD, V, est approximativement égale à la vitesse de l’écoulement ionique.
V ≡
n e m e V e + n i m i V i
n e m e + n i m i
≈ V i
(7.1)
Pour achever la description MHD, le système de deux variables, r et V, doit être
complété par une variable thermodynamique, la pression totale P, et une variable
électrodynamique, la densité de courant J.
P ≡ P e + P i ,
J ≡ n i eV i − n e eV e
(7.2)
Ce jeux de huit variables MHD,
P, r, V, J
, doit satisfaire un système de huit équations. Ces équations sont obtenues à partir des équations du modèle à deux fluides
eulériens. En particulier, les deux équations décrivant l’évolution des vitesses ionique
et électronique, V e et V i (6.8) :
dV e
dt
= −
∇P e
n e m e
−
e
m e
(E + V e × B) − n(V e − V i )
(7.3)
dV i
dt
= −
∇P i
n i m i
+
e
m i
(E + V i × B) − n(V i − V e )
(d/dt = ∂/∂t + V·∇) permettent d’obtenir deux relations sur les variables V et
J en effectuant respectivement une somme puis une différence comme suit. Effectuons d’abord la somme des deux équations précédentes. Compte tenu de la quasineutralité et de l’identité des transferts d’impulsion ions-électrons et électrons-ions,
nous obtenons une équation du mouvement où le fluide MHD apparaît uniquement
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
7 • Dynamique et structures magnétiques
ionique. L’évolution d’un plasma dans un tel régime peut être décrite par la dynamique d’un fluide unique dont l’inertie est principalement due aux ions et la mobilité
aux électrons.
La magnétohydrodynamique, MHD, est construite en premier lieu à partir de l’hypothèse de quasi-neutralité qui n’autorise pas le développement de champ électrique
à caractère potentiel : n e − n i n e + n i . En fait, l’hypothèse de quasi-neutralité
est à reconsidérer en présence de champs inductifs ; en présence de tels champs le
réarrangement des charges s’effectue pour écranter la force électrique dans le repère
au repos du fluide (2.1) : eE+eV ×B. Nous verrons que l’hypothèse supplémentaire
de la MHD idéale viendra naturellement confirmer ce point de vue.
Dans ce chapitre nous considérerons un plasma d’hydrogène, c’est-à-dire tel que
Z = 1, et les fréquences cyclotroniques (5.4) seront prise égales à leurs valeurs
absolues : v ce,ci = |v ce,ci |. La première étape de la construction du modèle MHD
consiste à définir un jeu de variables réduites ; en premier lieu la densité volumique
de masse du fluide MHD : r ≡ n e m e + n i m i où n i et n e sont les densités ionique et
électronique, et m i et m e les masses ionique et électronique. Compte tenu du rapport
de masse m e /m i 1, cette densité volumique de masse est dominée par l’inertie
ionique : r ≈ n i m i . De même, la vitesse moyenne du fluide MHD, V, est approximativement égale à la vitesse de l’écoulement ionique.
V ≡
n e m e V e + n i m i V i
n e m e + n i m i
≈ V i
(7.1)
Pour achever la description MHD, le système de deux variables, r et V, doit être
complété par une variable thermodynamique, la pression totale P, et une variable
électrodynamique, la densité de courant J.
P ≡ P e + P i ,
J ≡ n i eV i − n e eV e
(7.2)
Ce jeux de huit variables MHD,
P, r, V, J
, doit satisfaire un système de huit équations. Ces équations sont obtenues à partir des équations du modèle à deux fluides
eulériens. En particulier, les deux équations décrivant l’évolution des vitesses ionique
et électronique, V e et V i (6.8) :
dV e
dt
= −
∇P e
n e m e
−
e
m e
(E + V e × B) − n(V e − V i )
(7.3)
dV i
dt
= −
∇P i
n i m i
+
e
m i
(E + V i × B) − n(V i − V e )
(d/dt = ∂/∂t + V·∇) permettent d’obtenir deux relations sur les variables V et
J en effectuant respectivement une somme puis une différence comme suit. Effectuons d’abord la somme des deux équations précédentes. Compte tenu de la quasineutralité et de l’identité des transferts d’impulsion ions-électrons et électrons-ions,
nous obtenons une équation du mouvement où le fluide MHD apparaît uniquement
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit