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6 • Dynamique et structures électriques
du champ électrique normalisé en X = 0 : F ; ainsi,
√
R = 2S
3 +
1 − 2S
2
√
1 + S 2 .
La fonction implicite R(F) ainsi définie par cette relation est monotone décroissante
entre (R = 1, F = 0) et (R = 0, F = 1). Le premier point correspond à l’optimum de courant pouvant être écoulé entre les deux électrodes : le courant de ChildLangmuir défini par (6.36) ; le deuxième point correspond à un courant nul, la chute
de tension s’effectuant dans le vide, linéairement entre les deux électrodes.
Courant nul, champ maximum : R = 0, F = 1 → f(x) = −U
x
l
Courant maximum, champ nul : R = 1, F = 0 → f(x) = −U
x
l
4
3
Le courant maximum qui peut être extrait d’un plasma (R = 1, F = 0) est donc
donné par la formule de Child-Langmuir (6.36). Les formules précédentes révèlent
une singularité de densité en x = 0. Une telle singularité peut être aisément régularisée en incluant des effets de vitesse initiale v 0 et de pression P 0 qui modifient peu
le résultat final concernant le courant maximum.
La problématique des écoulements ioniques non-neutres présente la même richesse
que la problématique des écoulements plasmas quasi-neutre ; en particulier, il est
nécessaire de distinguer et d’étudier les trois régimes de dynamique ionique : inertiel,
v i =
−2ef/m i et collisionnel, v i = eE/m i n c et v i =
el c E/m i . Nous allons
maintenant aborder ce problème de l’impact des collisions sur la structure et les
propriétés des gaines. Nous allons redériver la formule de Child-Langmuir inertielle
puis nous étudierons les régimes collisionnels linéaire et non-linéaire.
Considérons un écoulement ionique, non-neutre, unidimensionnel suivant l’axe des
x et stationnaire, entre le plan x = 0, l’anode A, et le plan x = l, la cathode C
(Figure 6.17). Les ions de charge q et de masse m sont décrits par la densité n(x) et
la vitesse v(x). Le champ électrique e(x) créé par la charge d’espace qn(x) dérive
du potentiel électrostatique f (x). La différence de potentiel entre les électrodes est
égale à U : f(x = 0) = 0, f(x = l) = −U < 0 ; nous considérerons le cas optimum
identifié précédemment : e(x = 0) = 0. Afin de résoudre l’équation de Poisson nonlinéaire, introduisons un système de variables et d’inconnues normalisées : [f (x)]
→
F (X )
:
X =
x
l
,
J =
j
J A
,
F (X ) = −
qf (x)
mc 2
où le courant limite d’Alfvén J A est défini par :
J A ≡ ´ 0
mc
3
ql 2
(6.38)
Éliminons la vitesse entre l’équation de conservation de la charge et l’équation de conservation de l’énergie pour exprimer la densité (Relations 6.34 avec
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
6 • Dynamique et structures électriques
du champ électrique normalisé en X = 0 : F ; ainsi,
√
R = 2S
3 +
1 − 2S
2
√
1 + S 2 .
La fonction implicite R(F) ainsi définie par cette relation est monotone décroissante
entre (R = 1, F = 0) et (R = 0, F = 1). Le premier point correspond à l’optimum de courant pouvant être écoulé entre les deux électrodes : le courant de ChildLangmuir défini par (6.36) ; le deuxième point correspond à un courant nul, la chute
de tension s’effectuant dans le vide, linéairement entre les deux électrodes.
Courant nul, champ maximum : R = 0, F = 1 → f(x) = −U
x
l
Courant maximum, champ nul : R = 1, F = 0 → f(x) = −U
x
l
4
3
Le courant maximum qui peut être extrait d’un plasma (R = 1, F = 0) est donc
donné par la formule de Child-Langmuir (6.36). Les formules précédentes révèlent
une singularité de densité en x = 0. Une telle singularité peut être aisément régularisée en incluant des effets de vitesse initiale v 0 et de pression P 0 qui modifient peu
le résultat final concernant le courant maximum.
La problématique des écoulements ioniques non-neutres présente la même richesse
que la problématique des écoulements plasmas quasi-neutre ; en particulier, il est
nécessaire de distinguer et d’étudier les trois régimes de dynamique ionique : inertiel,
v i =
−2ef/m i et collisionnel, v i = eE/m i n c et v i =
el c E/m i . Nous allons
maintenant aborder ce problème de l’impact des collisions sur la structure et les
propriétés des gaines. Nous allons redériver la formule de Child-Langmuir inertielle
puis nous étudierons les régimes collisionnels linéaire et non-linéaire.
Considérons un écoulement ionique, non-neutre, unidimensionnel suivant l’axe des
x et stationnaire, entre le plan x = 0, l’anode A, et le plan x = l, la cathode C
(Figure 6.17). Les ions de charge q et de masse m sont décrits par la densité n(x) et
la vitesse v(x). Le champ électrique e(x) créé par la charge d’espace qn(x) dérive
du potentiel électrostatique f (x). La différence de potentiel entre les électrodes est
égale à U : f(x = 0) = 0, f(x = l) = −U < 0 ; nous considérerons le cas optimum
identifié précédemment : e(x = 0) = 0. Afin de résoudre l’équation de Poisson nonlinéaire, introduisons un système de variables et d’inconnues normalisées : [f (x)]
→
F (X )
:
X =
x
l
,
J =
j
J A
,
F (X ) = −
qf (x)
mc 2
où le courant limite d’Alfvén J A est défini par :
J A ≡ ´ 0
mc
3
ql 2
(6.38)
Éliminons la vitesse entre l’équation de conservation de la charge et l’équation de conservation de l’énergie pour exprimer la densité (Relations 6.34 avec
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit