6.4 Gaines ioniques
219
Ce paramètre offre la possibilité d’étudier les caractéristiques du flux limité par
charge d’espace en fonction du champ sur l’anode ; en particulier, il permet d’identifier pour quelle valeur optimale du champ (à la frontière de la gaine pour les
décharges), le flux est maximum : ∂ j (F, U , l) /∂ F = 0 → F = F M → j M (F M , U , l).
Le flux maximum ainsi identifié, j M , n’est autre que le courant limite de ChildLangmuir : j M (F M , U , l) = J C L (U , l) défini par :
J C L (U , l) ≡
4
9
´ 0
2q
m
U
3
2
l 2
(6.36)
x
v(x)
n(x)
0
l
φ(x)
C
A
j
j
U
Figure 6.17 Écoulement de Child-Langmuir en régime inertiel.
Pour établir ce résultat fondamental et analyser le problème de Child-Langmuir
(6.35), introduisons les variables normalisées X et F : [f (x)] →
F (X )
et le paramètre de contrôle R.
X =
x
l
,
F = −
f
U
,
R =
j
J C L
L’ordre de l’équation de Poisson (6.35) normalisée peut être abaissé en multipliant
de part et d’autre du signe égal par la dérivée de F.
d
2
F
d X 2 =
4
9
R
√ F
→
dF
d X
=
F 2 +
16R
9
√ F
Définissons S = 3F/4
√
R, après intégration la relation implicite entre potentiel F
et position X :
X = 2
S
3
√
R
+
√ F − 2S
2
√
R
√ F + S 2
(6.37)
offre le point de départ d’une discussion physique. Compte tenu de la condition aux
limites en X = 1 : F(1) = 1, la densité de courant j = R J C L est donc une fonction
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