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6 • Dynamique et structures électriques
peuvent être exprimées sous la forme de trois invariants ; introduisons pour cela la
vitesse v 0 = v(x = 0), la densité de courant entre les deux électrodes j (qui est
constante) et la pression P 0 = P(x = 0). Nous obtenons alors un système algébrique de trois équations à quatre inconnues, n, v, P et f le potentiel ; une quatrième
équation, l’équation de Poisson, complète ce système.
Conservation de la charge : nqv = j
Conservation de l’énergie :
m
2
v
2 +
3
2
P
n
+ qf =
m
2
v
2
0 +
3
2
P 0 qv 0
j
Conservation de l’entropie : Pn
−3
= P 0
j
qv 0
−3
Équation de Poisson :
d
2
f
dx 2 = −
q
´ 0
n
(6.34)
Ce système de quatre équations met en jeu deux tendances opposées, une tendance à
l’écoulement suivant la chute de potentiel et une tendance s’opposant à cette chute de
potentiel à travers la création d’une charge d’espace. La densité peut être exprimée
en fonction du potentiel en éliminant la vitesse et la pression dans le système (6.34)
pour obtenir une équation algébrique unique sur n.
n
4 3P 0
2
j
qv 0
−3
+ n
2
qf −
mv
2
0
2
−
3P 0 qv 0
2 j
+
m j
2
2q 2 = 0
Ainsi n(f, j, v 0 , P 0 ) peut être exprimée pour établir une équation de Poisson nonlinéaire. En général, les énergies associées à la vitesse initiale v 0 et à la température
sont négligeables devant la différence de potentiel U ; on peut donc simplifier l’équation du quatrième degré précédente.
P 0 = 0, v 0 = 0 → n(f, j) =
j
q
−
m
2qf
Le problème de l’écoulement d’une espèce chargée entre deux électrodes polarisées
se ramène donc à l’analyse de l’équation de Poisson non-linéaire :
d
2
f
dx 2 = −
j
´ 0
−
m
2qf
(6.35)
compte tenu des conditions aux limites, f(x = 0) = 0 et f(x = l) = −U .
Introduisons une mesure du champ électrique sur l’anode, le paramètre F tel que :
df
dx
x=0
≡ −F
U
l
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