6.4 Gaines ioniques
217
Enfin, la densité électronique étant exponentiellement faible, nous pouvons négliger
la charge d’espace électronique dans la gaine et résoudre l’équation de Poisson décrivant l’écoulement limité par la charge d’espace ionique, ainsi nous sommes confrontés au problème de Child-Langmuir analysé dans le paragraphe suivant ; anticipant
cette étude et son résultat, nous pouvons alors évaluer l’épaisseur de la gaine d g .
G i ≈
J c
f f , d g
e
=
4
9
´ 0
2e
m i
−f f
3
2
d 2
g
→ d g ≈ l D
−
ef f
kT e
3
4
où le courant de Child-Langmuir J C L est donné par la relation (6.36) au paragraphe
suivant. L’épaisseur de gaine est donc de quelques longueurs de Debye. Le tableau
(6.5) présente un résumé des caractéristiques d’une gaine.
Tableau 6.5
Caractéristiques
Ordre de grandeur
Potentiel de seuil
fs ≈ −
kTe
2e
Potentiel flottant
f f ≈ fs log
m i
me
Épaisseur de gaine dg ≈
log
m i
me
3
4 l D
Courant de gaine
eG i ≈
1
2
en 0 Cs
Cette étude de la structure des gaines doit maintenant être complétée par l’analyse
des courants limités par charge d’espace : les écoulement de Child-Langmuir.
6.4.2 Lois de Child-Langmuir
Nous allons étudier successivement :
• l’écoulement de Child-Langmuir limité par charge d’espace en régime inertiel,
puis,
• l’écoulement de Child-Langmuir limité par charge d’espace et collisions.
Considérons un écoulement ionique, non neutre, unidimensionnel suivant l’axe des
x et stationnaire, entre le plan x = 0, l’anode A, et le plan x = l, la cathode C
(Figure 6.17). Les ions de charge q et de masse m sont décrits par la densité n(x)
et par la vitesse v(x). La différence de potentiel entre les électrodes est égale à U :
f(x = 0) = 0, f(x = l) = −U < 0. En régime stationnaire, la vitesse v(x) et
la densité n(x) obéissent à l’équation de continuité et à l’équation du mouvement
(équivalente à l’équation de conservation de l’énergie dans ce cas inertiel) ; l’équation d’état de la population ionique est une isentropique (2.33). Ces trois équations
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Enfin, la densité électronique étant exponentiellement faible, nous pouvons négliger
la charge d’espace électronique dans la gaine et résoudre l’équation de Poisson décrivant l’écoulement limité par la charge d’espace ionique, ainsi nous sommes confrontés au problème de Child-Langmuir analysé dans le paragraphe suivant ; anticipant
cette étude et son résultat, nous pouvons alors évaluer l’épaisseur de la gaine d g .
G i ≈
J c
f f , d g
e
=
4
9
´ 0
2e
m i
−f f
3
2
d 2
g
→ d g ≈ l D
−
ef f
kT e
3
4
où le courant de Child-Langmuir J C L est donné par la relation (6.36) au paragraphe
suivant. L’épaisseur de gaine est donc de quelques longueurs de Debye. Le tableau
(6.5) présente un résumé des caractéristiques d’une gaine.
Tableau 6.5
Caractéristiques
Ordre de grandeur
Potentiel de seuil
fs ≈ −
kTe
2e
Potentiel flottant
f f ≈ fs log
m i
me
Épaisseur de gaine dg ≈
log
m i
me
3
4 l D
Courant de gaine
eG i ≈
1
2
en 0 Cs
Cette étude de la structure des gaines doit maintenant être complétée par l’analyse
des courants limités par charge d’espace : les écoulement de Child-Langmuir.
6.4.2 Lois de Child-Langmuir
Nous allons étudier successivement :
• l’écoulement de Child-Langmuir limité par charge d’espace en régime inertiel,
puis,
• l’écoulement de Child-Langmuir limité par charge d’espace et collisions.
Considérons un écoulement ionique, non neutre, unidimensionnel suivant l’axe des
x et stationnaire, entre le plan x = 0, l’anode A, et le plan x = l, la cathode C
(Figure 6.17). Les ions de charge q et de masse m sont décrits par la densité n(x)
et par la vitesse v(x). La différence de potentiel entre les électrodes est égale à U :
f(x = 0) = 0, f(x = l) = −U < 0. En régime stationnaire, la vitesse v(x) et
la densité n(x) obéissent à l’équation de continuité et à l’équation du mouvement
(équivalente à l’équation de conservation de l’énergie dans ce cas inertiel) ; l’équation d’état de la population ionique est une isentropique (2.33). Ces trois équations
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit