214
6 • Dynamique et structures électriques
donc donnée par :
X =
−2 log N
1
2
−
1
3
−2 log N
3
2 ,
X = V −
1
3
V
3
Soit X
∗ le point où la vitesse devient supersonique :
V
X
∗
= 1 → N
X
∗
= exp
−1/2
, F
X
∗
= −1/2.
Ce point marque le seuil d’entrée dans la gaine non-neutre, en ce point la densité et
le potentiel prennent les valeurs caractéristiques suivantes :
n s = n 0 exp
−
1
2
, f s = −
kT e
2e
(6.30)
Ce dernier modèle de Tonks-Langmuir présente quelques faiblesses, car, si le fluide
ionique est en régime inertiel, le bilan de particules ne peut pas être traduit par une
équation locale ; mais doit être décrit par une convolution spatiale. Historiquement,
Tonks et Langmuir ont décrit et analysé ce problème plus complexe de transport
non-local. Pour simplifier la présentation, nous avons fait le choix d’une description
locale qui ne modifie pas l’ordre de grandeur des résultats de Tonks et Langmuir.
Chacune de ces trois études spécifiques considérée séparément est de peu d’intérêt,
c’est la comparaison des trois résultats qui permet de comprendre l’universalité de la
transition subsonique/supersonique.
En effet, les valeurs de seuil, résumées dans le tableau (6.4), sont remarquablement voisines compte tenu de la grande différence entre les hypothèses de
construction des trois modèles.
Tableau 6.4
Modèle
Vitesse ionique ns/n 0 −efs/kTe
Schottky linéaire
n i = nc
e
m i nc
E
1/
√
2
log (2) /2
Schottky non-linéaire
n i , lc
elc
m i
E
1/
3
√
2
log (2) /3
Tonks-Langmuir
n i
−
2ef
m i
1/
√
e
log (e) /2
Les valeurs reproduites sur la figure 6.16 sont donc universelles et faiblement dépendantes du détail des conditions de la décharge (on ne confondra pas la charge de
l’électron e et e = 2,718).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
6 • Dynamique et structures électriques
donc donnée par :
X =
−2 log N
1
2
−
1
3
−2 log N
3
2 ,
X = V −
1
3
V
3
Soit X
∗ le point où la vitesse devient supersonique :
V
X
∗
= 1 → N
X
∗
= exp
−1/2
, F
X
∗
= −1/2.
Ce point marque le seuil d’entrée dans la gaine non-neutre, en ce point la densité et
le potentiel prennent les valeurs caractéristiques suivantes :
n s = n 0 exp
−
1
2
, f s = −
kT e
2e
(6.30)
Ce dernier modèle de Tonks-Langmuir présente quelques faiblesses, car, si le fluide
ionique est en régime inertiel, le bilan de particules ne peut pas être traduit par une
équation locale ; mais doit être décrit par une convolution spatiale. Historiquement,
Tonks et Langmuir ont décrit et analysé ce problème plus complexe de transport
non-local. Pour simplifier la présentation, nous avons fait le choix d’une description
locale qui ne modifie pas l’ordre de grandeur des résultats de Tonks et Langmuir.
Chacune de ces trois études spécifiques considérée séparément est de peu d’intérêt,
c’est la comparaison des trois résultats qui permet de comprendre l’universalité de la
transition subsonique/supersonique.
En effet, les valeurs de seuil, résumées dans le tableau (6.4), sont remarquablement voisines compte tenu de la grande différence entre les hypothèses de
construction des trois modèles.
Tableau 6.4
Modèle
Vitesse ionique ns/n 0 −efs/kTe
Schottky linéaire
n i = nc
e
m i nc
E
1/
√
2
log (2) /2
Schottky non-linéaire
n i , lc
elc
m i
E
1/
3
√
2
log (2) /3
Tonks-Langmuir
n i
−
2ef
m i
1/
√
e
log (e) /2
Les valeurs reproduites sur la figure 6.16 sont donc universelles et faiblement dépendantes du détail des conditions de la décharge (on ne confondra pas la charge de
l’électron e et e = 2,718).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit