6.3 Structures quasi-neutres
213
Si la collisionalité devient extrêmement faible, alors l’inertie est dominante et la
construction d’un modèle non-dissipatif s’impose, le modèle de Tonks-Langmuir.
6.3.3 Modéle de Tonks-Langmuir
Le type de décharges que nous allons étudier maintenant est complémentaire des
précédents en terme de description de régime. En effet, le ions sont considérés ici en
régime inertiel, sans collision, et les électrons à l’équilibre en régime boltzmannien.
La conservation du nombre d’ions, de l’énergie/impulsion ionique et l’hypothèse
d’équilibre électronique se traduisent par le système d’équations :
Conservation de la charge ionique : ∇· (n i v) = n i n e
Conservation de l’énergie :
d
dx
1
2
m i v
2 + ef
= 0
Relation de Boltzmann : n e = n 0 exp
ef
kT e
où n e et n i sont respectivement les densités électronique et ionique, n 0 la densité
au centre de la décharge, n i est la fréquence d’ionisation. Nous disposons donc de
trois équations qui ne permettent pas de déterminer les quatre inconnues ; une hypothèse supplémentaire est nécessaire, la quasi-neutralité : n e = n i = n. Le modèle
étant restreint à l’étude des écoulements unidimentionels, le système décrivant cet
écoulement basse pression se réduit à :
Plasma :
d
dx
(nv) = n i n,
v
2
= −
2ef
m i
Champ :
df
dx
=
kT e
ne
dn
dx
Afin de résoudre ce système de trois équations à trois inconnues introduisons un
système de variables et d’inconnues normalisées :
[n (x) , v (x) , f (x)] →
N (X ) , V (X ) , F (X )
.
X =
xn i
C s
,
F =
ef
kT e
,
V =
v
C s
,
N =
n
n 0
Les équations normalisées deviennent :
d
d X
[N V ] = N ,
V
2
= −2 log N
Ainsi, d
N
−2 log N
/d X = N qui peut être aisément ramené à une quadrature
afin d’exprimer X en fonction de N ; la solution implicite du système précédent est
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
213
Si la collisionalité devient extrêmement faible, alors l’inertie est dominante et la
construction d’un modèle non-dissipatif s’impose, le modèle de Tonks-Langmuir.
6.3.3 Modéle de Tonks-Langmuir
Le type de décharges que nous allons étudier maintenant est complémentaire des
précédents en terme de description de régime. En effet, le ions sont considérés ici en
régime inertiel, sans collision, et les électrons à l’équilibre en régime boltzmannien.
La conservation du nombre d’ions, de l’énergie/impulsion ionique et l’hypothèse
d’équilibre électronique se traduisent par le système d’équations :
Conservation de la charge ionique : ∇· (n i v) = n i n e
Conservation de l’énergie :
d
dx
1
2
m i v
2 + ef
= 0
Relation de Boltzmann : n e = n 0 exp
ef
kT e
où n e et n i sont respectivement les densités électronique et ionique, n 0 la densité
au centre de la décharge, n i est la fréquence d’ionisation. Nous disposons donc de
trois équations qui ne permettent pas de déterminer les quatre inconnues ; une hypothèse supplémentaire est nécessaire, la quasi-neutralité : n e = n i = n. Le modèle
étant restreint à l’étude des écoulements unidimentionels, le système décrivant cet
écoulement basse pression se réduit à :
Plasma :
d
dx
(nv) = n i n,
v
2
= −
2ef
m i
Champ :
df
dx
=
kT e
ne
dn
dx
Afin de résoudre ce système de trois équations à trois inconnues introduisons un
système de variables et d’inconnues normalisées :
[n (x) , v (x) , f (x)] →
N (X ) , V (X ) , F (X )
.
X =
xn i
C s
,
F =
ef
kT e
,
V =
v
C s
,
N =
n
n 0
Les équations normalisées deviennent :
d
d X
[N V ] = N ,
V
2
= −2 log N
Ainsi, d
N
−2 log N
/d X = N qui peut être aisément ramené à une quadrature
afin d’exprimer X en fonction de N ; la solution implicite du système précédent est
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit