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6 • Dynamique et structures électriques
Afin de résoudre le système de trois équations à trois inconnues (6.27) introduisons
un système de variables et d’inconnues normalisées :
[n (x) , v (x) , f (x)] →
N (X ) , V (X ) , F (X )
où les variables normalisées sont définies par :
X = n i
C
2
s l c n i
−
1
3 x,
N =
n
n 0
,
V = v
C
2
s l c n i
−
1
3 ,
F =
ef
kT e
Les conditions aux limites sur la densité la vitesse et le potentiel sont :
N (X = 0) = 1,
V (X = 0) = 0,
F (X = 0) = 0.
Supposons T e T i ; les deux équations différentielles ordinaires du premier ordre
vérifiées par N (X ) et V (X ) deviennent :
d
d X
[N V ] = N ,
d N
d X
= −N V
2
Ainsi, dV /d X = 1 + V
3 et une quadrature permet d’exprimer la position X en
fonction de la vitesse V .
X =
1
6
log
1 + 2V + V
2
1 − V + V 2
+
1
√
3
arctan
2V − 1
√
3
+
p
6
√
3
,
N
3
=
1
1 + V 3
Définissons X
∗ , le point où la vitesse devient supersonique :
V
X
∗
= 1 → N
X
∗
= 2
−1/3
,
F
X
∗
= − (log 2) /3.
Nous obtenons ainsi les expressions des densité et potentiel de seuil en régime de
champ fort :
n s = n 0 2
−
1
3 ,
f s = −
kT e
3e
log [2]
(6.29)
Les profils représentés sur la figure 6.16 sont aussi pertinents pour ce modèle, ainsi
que les différents ordres de grandeur caractéristiques.
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