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6 • Dynamique et structures électriques
La vitesse acoustique ionique C s est donnée par C s =
kT e /m i (3.14). Les conditions aux limites sur la densité, la vitesse et le potentiel sont : N (X = 0) = 1,
V (X = 0) = 0, F (X = 0) = 0. Supposons T e T i , effectuons les approximations qui résultent de cette hypothèse et éliminons le potentiel électrostatique du système (6.27) ; le système de deux équations différentielles du premier ordre, vérifié
par N (X ) et V (X ), ainsi obtenu,
d
d X
[N V ] =
n i
n c
N ,
d N
d X
= −
n c
n i
N V
s’intégre aisément et les profils de vitesse et densité s’expriment simplement en fonction de X .
N = cos X ,
V =
n i
n c
tan X
La condition aux limites sur la paroi N = 0 est singulière car la vitesse de l’écoulement devient infinie : N = 0 → V = +∞. Afin de régulariser ce comportement
singulier nous considérerons que le modèle quasi-neutre, n e = n i = n, cesse d’être
valable lorsque la vitesse devient supersonique ; ainsi définissons le point de coordonnée X
∗
= arctan
n c
n i
tel que V
X
∗
= 1 → N
X
∗
= 1/
1 + n c /n i et
F
X
∗
= − log
1 + n c /n i . Ce point marque le seuil d’entrée de la zone de raccordement entre le plasma quasi-neutre et la gaine non-neutre. Le potentiel de seuil f s
et la densité de seuil n s en ce point sont donc donnés par :
n s =
n 0
1 +
ni
nc
,
f s = −
kT e
2e
log
1 +
n i
n c
(6.28)
Les profils de densité, potentiel et vitesse sont représentés sur la Figure 6.16. Nous
démontrerons que l’allure général de ces profils et les valeurs au seuil de transition
sont indépendantes du modèle et universelles.
Nous verrons que l’épaisseur de la gaine est de quelques longueurs de Debye,
aussi, peut-on considérer que le plasma occupe tout le récipient ; si la dimension d’extension du récipient est égale à l alors, en x = l, la condition
N = cos X ≈ 0 → p/2 =
√ n i n c l /C s ; cette condition impose une contrainte
qui peut sembler difficile à satisfaire, comme la vitesse acoustique ionique, C s , la
fréquence d’ionisation, n i , et la fréquence de collision, n c , sont des données de base
du modèle et non des paramètres libres. En fait, ces trois paramètres sont fonctions
de la température électronique, T e , et l’équation l ≈ pC s /2
√
n i n c fixe la température
de la décharge. Dans une décharge électrique le bilan de particules détermine la
température (et le bilan d’énergie la densité mais nous ne considérerons pas ce
problème ici).
C s (T e ) ≈ l
n i (T e ) n c (T e ) → T e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
6 • Dynamique et structures électriques
La vitesse acoustique ionique C s est donnée par C s =
kT e /m i (3.14). Les conditions aux limites sur la densité, la vitesse et le potentiel sont : N (X = 0) = 1,
V (X = 0) = 0, F (X = 0) = 0. Supposons T e T i , effectuons les approximations qui résultent de cette hypothèse et éliminons le potentiel électrostatique du système (6.27) ; le système de deux équations différentielles du premier ordre, vérifié
par N (X ) et V (X ), ainsi obtenu,
d
d X
[N V ] =
n i
n c
N ,
d N
d X
= −
n c
n i
N V
s’intégre aisément et les profils de vitesse et densité s’expriment simplement en fonction de X .
N = cos X ,
V =
n i
n c
tan X
La condition aux limites sur la paroi N = 0 est singulière car la vitesse de l’écoulement devient infinie : N = 0 → V = +∞. Afin de régulariser ce comportement
singulier nous considérerons que le modèle quasi-neutre, n e = n i = n, cesse d’être
valable lorsque la vitesse devient supersonique ; ainsi définissons le point de coordonnée X
∗
= arctan
n c
n i
tel que V
X
∗
= 1 → N
X
∗
= 1/
1 + n c /n i et
F
X
∗
= − log
1 + n c /n i . Ce point marque le seuil d’entrée de la zone de raccordement entre le plasma quasi-neutre et la gaine non-neutre. Le potentiel de seuil f s
et la densité de seuil n s en ce point sont donc donnés par :
n s =
n 0
1 +
ni
nc
,
f s = −
kT e
2e
log
1 +
n i
n c
(6.28)
Les profils de densité, potentiel et vitesse sont représentés sur la Figure 6.16. Nous
démontrerons que l’allure général de ces profils et les valeurs au seuil de transition
sont indépendantes du modèle et universelles.
Nous verrons que l’épaisseur de la gaine est de quelques longueurs de Debye,
aussi, peut-on considérer que le plasma occupe tout le récipient ; si la dimension d’extension du récipient est égale à l alors, en x = l, la condition
N = cos X ≈ 0 → p/2 =
√ n i n c l /C s ; cette condition impose une contrainte
qui peut sembler difficile à satisfaire, comme la vitesse acoustique ionique, C s , la
fréquence d’ionisation, n i , et la fréquence de collision, n c , sont des données de base
du modèle et non des paramètres libres. En fait, ces trois paramètres sont fonctions
de la température électronique, T e , et l’équation l ≈ pC s /2
√
n i n c fixe la température
de la décharge. Dans une décharge électrique le bilan de particules détermine la
température (et le bilan d’énergie la densité mais nous ne considérerons pas ce
problème ici).
C s (T e ) ≈ l
n i (T e ) n c (T e ) → T e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit