6.3 Structures quasi-neutres
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à l’équilibre en régime boltzmannien. La conservation du nombre d’ions, de l’impulsion ionique et l’hypothèse d’équilibre électronique se traduisent par le système
d’équations :
Conservation de la charge ionique : ∇· (n i v) = n i n e
Transport ionique : v = mE − D
∇n i
n i
Relation de Boltzmann électronique : n e = n 0 exp
ef
kT e
(6.26)
où n e et n i sont respectivement les densités électronique et ionique, v est la vitesse
ionique, n 0 la densité au centre de la décharge, f est le potentiel électrostatique,
m le coefficient de mobilité ionique, −e la charge de l’électron, T e la température
électronique et D le coefficient de diffusion ionique, n i est la fréquence d’ionisation,
n i n e est le nombre d’ions créés par unité de volume et unité de temps ; en général, ce
processus de génération est dû à l’impact électronique, afin de préserver la généralité
des résultats nous ne préciserons pas la nature exact du mécanisme d’ionisation et
nous considérerons cette fréquence d’ionisation comme une constante, donnée de
base du modèle.
Nous disposons donc de trois équations qui ne permettent pas de déterminer les
quatre inconnues, n e , n i ,v et f ; une hypothèse supplémentaire est nécessaire, la
quasi-neutralité : n e = n i = n. Le modèle étant restreint à l’étude des écoulements
unidimentionels suivant l’axe des x, le système décrivant la structure des couplages
dynamiques se réduit à :
Plasma :
d
dx
[nv] = n i n,
nv = −mn
df
dx
− D
dn
dx
Champ :
df
dx
=
kT e
en
dn
dx
(6.27)
Introduisons n c la fréquence de transfert d’impulsion ionique qui permet d’exprimer
les coefficients de mobilité et diffusion ionique en fonction de la masse des ions m i
et de leur température T i .
m =
e
m i n c
,
D =
kT i
m i n c
Afin de résoudre le système de trois équations à trois inconnues (6.27) introduisons
un système de variables et d’inconnues normalisées :
[n (x) , v (x) , f (x)] →
N (X ) , V (X ) , F (X )
où les variables de position, densité, vitesse et potentiel normalisés sont définies par :
X =
√ n i n c
C s
x,
N =
n
n 0
,
V =
v
C s
,
F =
ef
kT e
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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à l’équilibre en régime boltzmannien. La conservation du nombre d’ions, de l’impulsion ionique et l’hypothèse d’équilibre électronique se traduisent par le système
d’équations :
Conservation de la charge ionique : ∇· (n i v) = n i n e
Transport ionique : v = mE − D
∇n i
n i
Relation de Boltzmann électronique : n e = n 0 exp
ef
kT e
(6.26)
où n e et n i sont respectivement les densités électronique et ionique, v est la vitesse
ionique, n 0 la densité au centre de la décharge, f est le potentiel électrostatique,
m le coefficient de mobilité ionique, −e la charge de l’électron, T e la température
électronique et D le coefficient de diffusion ionique, n i est la fréquence d’ionisation,
n i n e est le nombre d’ions créés par unité de volume et unité de temps ; en général, ce
processus de génération est dû à l’impact électronique, afin de préserver la généralité
des résultats nous ne préciserons pas la nature exact du mécanisme d’ionisation et
nous considérerons cette fréquence d’ionisation comme une constante, donnée de
base du modèle.
Nous disposons donc de trois équations qui ne permettent pas de déterminer les
quatre inconnues, n e , n i ,v et f ; une hypothèse supplémentaire est nécessaire, la
quasi-neutralité : n e = n i = n. Le modèle étant restreint à l’étude des écoulements
unidimentionels suivant l’axe des x, le système décrivant la structure des couplages
dynamiques se réduit à :
Plasma :
d
dx
[nv] = n i n,
nv = −mn
df
dx
− D
dn
dx
Champ :
df
dx
=
kT e
en
dn
dx
(6.27)
Introduisons n c la fréquence de transfert d’impulsion ionique qui permet d’exprimer
les coefficients de mobilité et diffusion ionique en fonction de la masse des ions m i
et de leur température T i .
m =
e
m i n c
,
D =
kT i
m i n c
Afin de résoudre le système de trois équations à trois inconnues (6.27) introduisons
un système de variables et d’inconnues normalisées :
[n (x) , v (x) , f (x)] →
N (X ) , V (X ) , F (X )
où les variables de position, densité, vitesse et potentiel normalisés sont définies par :
X =
√ n i n c
C s
x,
N =
n
n 0
,
V =
v
C s
,
F =
ef
kT e
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