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6 • Dynamique et structures électriques
où nous avons introduit le coefficient de mobilité m et le coefficient de diffusion D.
m =
q
mn
,
D =
kT
mn
(6.10)
Ces deux coefficients sont reliés par la relation d’Einstein :
m =
q
kT
D
(6.11)
L’équation de continuité (pour les temps longs) peut alors être mise à profit pour
exprimer la dynamique de la densité.
∂n
∂t
= −m∇·nE + D∇
2 n
(6.12)
Nous avons supposé que le coefficient de mobilité et le coefficient de diffusion étaient
indépendants de la position. La densité n(r, t) obéit donc à une équation de FokkerPlanck, le terme de diffusion est appelé loi de Fick. Il est d’usage de parler d’équation
de mobilité-diffusion plutôt que d’équation de Fokker-Planck. L’importance relative
des termes de mobilité et de diffusion permet de distinguer deux régimes d’écoulements collisionnels dans les plasmas.
• Lorsque (q fois) la chute de potentiel caractéristique du plasma est plus importante
que l’énergie d’agitation thermique, qdf > kT , alors le terme de mobilité est
dominant comparé au terme de diffusion qui peut donc être négligé. Ce type de
modélisation sera utilisé dans l’étude des décharges électriques en régime basse
pression.
• Si (q fois) la chute de potentiel caractéristique du plasma est plus petite que l’énergie d’agitation thermique, qdf < kT , alors le processus de diffusion domine le
transport de charge et la mobilité est négligeable.
Mobilité : qdf > kT →
mdf
L
>
D
L
→ −m∇f > D
∇n
n
→ V = mE
Diffusion : qdf < kT →
mdf
L
<
D
L
→ −m∇f < D
∇n
n
→ V = −D
∇n
n
Considérons l’équation (6.12) en régime stationnaire, ∂n/∂t = 0, pour un champ
électrique dérivant du potentiel f ; la solution de cette équation, présentant un flux
nul, est donnée par :
mn∇f + D∇n = 0 →
n(r)
n(r )
= exp
−q
f(r ) − f(r)
kT
cette solution n’est autre qu’une distribution Boltzmanienne de densité (2.21).
Les relations qui viennent d’être établies concernent les situations où le plasma n’est
pas magnétisé. Lorsqu’un champ magnétique statique est appliqué au plasma il nous
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
6 • Dynamique et structures électriques
où nous avons introduit le coefficient de mobilité m et le coefficient de diffusion D.
m =
q
mn
,
D =
kT
mn
(6.10)
Ces deux coefficients sont reliés par la relation d’Einstein :
m =
q
kT
D
(6.11)
L’équation de continuité (pour les temps longs) peut alors être mise à profit pour
exprimer la dynamique de la densité.
∂n
∂t
= −m∇·nE + D∇
2 n
(6.12)
Nous avons supposé que le coefficient de mobilité et le coefficient de diffusion étaient
indépendants de la position. La densité n(r, t) obéit donc à une équation de FokkerPlanck, le terme de diffusion est appelé loi de Fick. Il est d’usage de parler d’équation
de mobilité-diffusion plutôt que d’équation de Fokker-Planck. L’importance relative
des termes de mobilité et de diffusion permet de distinguer deux régimes d’écoulements collisionnels dans les plasmas.
• Lorsque (q fois) la chute de potentiel caractéristique du plasma est plus importante
que l’énergie d’agitation thermique, qdf > kT , alors le terme de mobilité est
dominant comparé au terme de diffusion qui peut donc être négligé. Ce type de
modélisation sera utilisé dans l’étude des décharges électriques en régime basse
pression.
• Si (q fois) la chute de potentiel caractéristique du plasma est plus petite que l’énergie d’agitation thermique, qdf < kT , alors le processus de diffusion domine le
transport de charge et la mobilité est négligeable.
Mobilité : qdf > kT →
mdf
L
>
D
L
→ −m∇f > D
∇n
n
→ V = mE
Diffusion : qdf < kT →
mdf
L
<
D
L
→ −m∇f < D
∇n
n
→ V = −D
∇n
n
Considérons l’équation (6.12) en régime stationnaire, ∂n/∂t = 0, pour un champ
électrique dérivant du potentiel f ; la solution de cette équation, présentant un flux
nul, est donnée par :
mn∇f + D∇n = 0 →
n(r)
n(r )
= exp
−q
f(r ) − f(r)
kT
cette solution n’est autre qu’une distribution Boltzmanienne de densité (2.21).
Les relations qui viennent d’être établies concernent les situations où le plasma n’est
pas magnétisé. Lorsqu’un champ magnétique statique est appliqué au plasma il nous
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit