6.1 Modèles cinétiques et fluides
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stationnaire caractérisé par une pression caractéristique P 0 , une vitesse typique V 0 et
une densité de référence n 0 , prises en un point de référence de l’écoulement ; normalisons la pression P, la vitesse V, la densité n et les longueurs r, à la pression de
référence P 0 , à la vitesse de référence V 0 , à la densité de référence n 0 et à une longueur caractéristique de l’écoulement L, la dimension du conduit ou de l’obstacle
selon la situation :
P
∗
=
P
gP 0
, n
∗
=
n
n 0
, V
∗
=
V
V 0
, r
∗
=
r
L
.
L’équation de Navier-Stokes ainsi normalisée fait apparaître deux nombres sans
dimension.
Nombre de Mach : M a ≡
V 0
gP0
n0m
≈
Énergie cinétique
Énergie interne
Nombre de Reynolds : R e ≡
mn 0 V 0 L
z
≈
[Convection de l’impulsion]
[Diffusion de l’impulsion]
Les trois termes (d’inertie, de pression et de viscosité) de l’équation de NavierStokes, en régime stationnaire, sont donc dans les rapports 1/M
−2
a /R
−1
e .
V
∗
·∇
∗
V
∗ + M
−2
a ∇
∗ P
∗
− R
−1
e D
∗
V
∗
= 0
Nous avons démontré dans les chapitres précédents que la viscosité peut s’exprimer en fonction du libre parcours moyen l et de la densité n par la formule (4.33)
z ≈ lnm v ou v est la vitesse d’agitation thermique ; de même nous avons établi que la pression possède une interprétation cinétique et que sa valeur est donnée
par P ≈ nm
v
2
. Ces deux expressions permettent alors d’exprimer le rapport du
nombre de Reynolds sur le nombre de Mach comme le rapport de la dimension caractéristique de l’écoulement L sur le libre parcours moyen l, l’inverse de ce nombre
est appelé nombre de Knudsen.
Nombre de Knudsen : K n ≡
M a
R e
≈
l
L
=
[Libre parcours moyen]
[Dimension du conduit ou de l’obstacle]
(6.7)
Le nombre de Mach quantifie les effets de compressibilité ; les écoulements à petit
nombre de Mach peuvent être considérés comme incompressibles et les écoulements à grand nombre de Mach sont dominés par les effets de compressibilité ; ainsi,
distingue-t-on les écoulements :
• subsonique : M a < 0, 8,
• transsonique et supersonique : 0, 8 < M a < 5 et
• hypersonique : M a > 5.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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stationnaire caractérisé par une pression caractéristique P 0 , une vitesse typique V 0 et
une densité de référence n 0 , prises en un point de référence de l’écoulement ; normalisons la pression P, la vitesse V, la densité n et les longueurs r, à la pression de
référence P 0 , à la vitesse de référence V 0 , à la densité de référence n 0 et à une longueur caractéristique de l’écoulement L, la dimension du conduit ou de l’obstacle
selon la situation :
P
∗
=
P
gP 0
, n
∗
=
n
n 0
, V
∗
=
V
V 0
, r
∗
=
r
L
.
L’équation de Navier-Stokes ainsi normalisée fait apparaître deux nombres sans
dimension.
Nombre de Mach : M a ≡
V 0
gP0
n0m
≈
Énergie cinétique
Énergie interne
Nombre de Reynolds : R e ≡
mn 0 V 0 L
z
≈
[Convection de l’impulsion]
[Diffusion de l’impulsion]
Les trois termes (d’inertie, de pression et de viscosité) de l’équation de NavierStokes, en régime stationnaire, sont donc dans les rapports 1/M
−2
a /R
−1
e .
V
∗
·∇
∗
V
∗ + M
−2
a ∇
∗ P
∗
− R
−1
e D
∗
V
∗
= 0
Nous avons démontré dans les chapitres précédents que la viscosité peut s’exprimer en fonction du libre parcours moyen l et de la densité n par la formule (4.33)
z ≈ lnm v ou v est la vitesse d’agitation thermique ; de même nous avons établi que la pression possède une interprétation cinétique et que sa valeur est donnée
par P ≈ nm
v
2
. Ces deux expressions permettent alors d’exprimer le rapport du
nombre de Reynolds sur le nombre de Mach comme le rapport de la dimension caractéristique de l’écoulement L sur le libre parcours moyen l, l’inverse de ce nombre
est appelé nombre de Knudsen.
Nombre de Knudsen : K n ≡
M a
R e
≈
l
L
=
[Libre parcours moyen]
[Dimension du conduit ou de l’obstacle]
(6.7)
Le nombre de Mach quantifie les effets de compressibilité ; les écoulements à petit
nombre de Mach peuvent être considérés comme incompressibles et les écoulements à grand nombre de Mach sont dominés par les effets de compressibilité ; ainsi,
distingue-t-on les écoulements :
• subsonique : M a < 0, 8,
• transsonique et supersonique : 0, 8 < M a < 5 et
• hypersonique : M a > 5.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit