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6 • Dynamique et structures électriques
6.1.2 Nombre de Knudsen
Les équations fluides précédentes ont été établies sous une hypothèse d’absence
de collisions et d’ionisation ; en présence de collisions et d’ionisation, des termes
supplémentaires, sources de particules et de transport d’énergie et d’impulsion, sont
nécessaires. En particulier, l’étude des écoulements fluides nécessite la prise en
compte du transport non convectif d’impulsion associé à la viscosité (4.33) ; bien
que les effets de viscosité ne soit pas dominants en physique des plasmas nous allons
rappeler dans ce paragraphe la classification des différents types d’écoulements et
identifier les nombres de Knudsen, Mach et Reynolds qui permettent de classifier
les régimes cinétiques et fluides.
L’équation d’Euler et l’équation de continuité ne constituent pas un système fermé
car le terme de pression est inconnu. Afin d’exprimer l’équation à laquelle obéit la
pression, il possible de calculer les moments d’ordre trois de l’équation de Vlasov et
de définir un tenseur de flux de chaleur, mais cette équation introduira de nouvelles
inconnues. Une stratégie plus efficace a donc été adoptée ; elle consiste à considérer
que la valeur du tenseur de pression est le résultat d’un processus de transport de chaleur asymptotique : ce processus est soit infiniment lent (adiabatique), soit infiniment
rapide (isotherme). Alors la relation pression-densité devient locale et algébrique et
nous avons à faire à une équation d’état permettant de fermer le système des équations fluides. En fait, parmi les deux équations d’état, isentropique et isotherme, seule
l’isentropique est recevable en l’absence de collision et toute modélisation utilisant
d’autres hypothèses thermodynamiques implique l’existence de collisions.
Nous avons établi l’équation de continuité et l’équation du mouvement sur la base de
l’équation cinétique de Vlasov sans collision ; il est maintenant nécessaire de s’intéresser aux couplages supplémentaires introduits par les collisions. En ce qui concerne
l’équation de continuité, comme elle décrit la conservation du nombre de particules,
elle reste valide avec ou sans collisions si il n’y a pas de processus d’ionisation et si
il y a un phénomène d’ionisation elle doit être complétée par un terme source. Lors
du processus de réduction, de la théorie cinétique vers l’hydrodynamique, il est possible d’inclure le terme de collisions de Landau (9.20), ou de Boltzmann (9.6, 9.7),
dans l’équation cinétique afin d’évaluer les modifications de l’équation d’Euler ; une
telle démarche est lourde et assez décevante, indiquons simplement le résultat, que
nous avons déjà rencontré dans le paragraphe dédié à la théorie du libre parcours
(4.33) : la prise en compte du transport collisionnel d’impulsion conduit à l’équation
de Navier-Stokes,
nm
∂V
∂t
+ nm (V·∇) V = −∇P + nq (E + V × B) + zDV
(6.6)
où z est le coefficient de viscosité caractérisant la diffusion de l’impulsion. En régime
stationnaire, l’équation de Navier-Stokes traduit l’équilibre entre les forces de pression, d’inertie et de viscosité : nm (V·∇) V = −∇P + zDV. Soit un écoulement
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
6 • Dynamique et structures électriques
6.1.2 Nombre de Knudsen
Les équations fluides précédentes ont été établies sous une hypothèse d’absence
de collisions et d’ionisation ; en présence de collisions et d’ionisation, des termes
supplémentaires, sources de particules et de transport d’énergie et d’impulsion, sont
nécessaires. En particulier, l’étude des écoulements fluides nécessite la prise en
compte du transport non convectif d’impulsion associé à la viscosité (4.33) ; bien
que les effets de viscosité ne soit pas dominants en physique des plasmas nous allons
rappeler dans ce paragraphe la classification des différents types d’écoulements et
identifier les nombres de Knudsen, Mach et Reynolds qui permettent de classifier
les régimes cinétiques et fluides.
L’équation d’Euler et l’équation de continuité ne constituent pas un système fermé
car le terme de pression est inconnu. Afin d’exprimer l’équation à laquelle obéit la
pression, il possible de calculer les moments d’ordre trois de l’équation de Vlasov et
de définir un tenseur de flux de chaleur, mais cette équation introduira de nouvelles
inconnues. Une stratégie plus efficace a donc été adoptée ; elle consiste à considérer
que la valeur du tenseur de pression est le résultat d’un processus de transport de chaleur asymptotique : ce processus est soit infiniment lent (adiabatique), soit infiniment
rapide (isotherme). Alors la relation pression-densité devient locale et algébrique et
nous avons à faire à une équation d’état permettant de fermer le système des équations fluides. En fait, parmi les deux équations d’état, isentropique et isotherme, seule
l’isentropique est recevable en l’absence de collision et toute modélisation utilisant
d’autres hypothèses thermodynamiques implique l’existence de collisions.
Nous avons établi l’équation de continuité et l’équation du mouvement sur la base de
l’équation cinétique de Vlasov sans collision ; il est maintenant nécessaire de s’intéresser aux couplages supplémentaires introduits par les collisions. En ce qui concerne
l’équation de continuité, comme elle décrit la conservation du nombre de particules,
elle reste valide avec ou sans collisions si il n’y a pas de processus d’ionisation et si
il y a un phénomène d’ionisation elle doit être complétée par un terme source. Lors
du processus de réduction, de la théorie cinétique vers l’hydrodynamique, il est possible d’inclure le terme de collisions de Landau (9.20), ou de Boltzmann (9.6, 9.7),
dans l’équation cinétique afin d’évaluer les modifications de l’équation d’Euler ; une
telle démarche est lourde et assez décevante, indiquons simplement le résultat, que
nous avons déjà rencontré dans le paragraphe dédié à la théorie du libre parcours
(4.33) : la prise en compte du transport collisionnel d’impulsion conduit à l’équation
de Navier-Stokes,
nm
∂V
∂t
+ nm (V·∇) V = −∇P + nq (E + V × B) + zDV
(6.6)
où z est le coefficient de viscosité caractérisant la diffusion de l’impulsion. En régime
stationnaire, l’équation de Navier-Stokes traduit l’équilibre entre les forces de pression, d’inertie et de viscosité : nm (V·∇) V = −∇P + zDV. Soit un écoulement
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit