6.1 Modèles cinétiques et fluides
183
Cette forme de l’équation d’Euler traduit la conservation du flux d’impulsion nVV.
Les forces électromagnétiques et de pression constituent un terme source de cette
équation. L’équation de continuité relative à la densité permet une réécriture plus
classique.
Équation d’Euler :
∂V
∂t
+ (V·∇) V = −
∇·P
nm
+
q
m
(E + V × B)
(6.4)
Cette deuxième forme s’interprète aisément en terme de relation fondamentale de la
dynamique pour une particule fluide. En général, le tenseur de pression est non diagonal ; une première approximation consiste à considérer le cas isotrope : P = PI.
Lorsque le champ magnétique est tel que la pression magnétique est beaucoup plus
grande que la pression cinétique, l’équation d’état couple non seulement la pression
et la densité mais les trois variables : pression, densité et champ magnétique. Dans de
telles situations, lorsque les collisions ne sont pas efficaces pour assurer une isotropisation rapide des vitesses, le tenseur de pression est anisotrope et la pression le long
des lignes de champ est différente de la pression perpendiculairement au champ.
P = P ⊥ I + (P − P ⊥ )
BB
B 2
L’équation d’état adiabatique des plasmas magnétisés fait usage des deux premiers
invariants adiabatiques (Tableau 5.3) et est appelée équation d’état adiabatique
double. En effet, le moment magnétique de chaque particule, mV
2
c /2B, est un
invariant lors des transformations lentes (adiabatiques) à l’échelle de la fréquence
cyclotronique et la pression perpendiculaire est définie par : P ⊥ = nm
V
2
c
/2,
ainsi P ⊥ /n B est constant. L’équation d’état relative à la pression parallèle est
obtenue en considérant un tube de flux, de longueur l et de section S. Le flux à
travers la section de ce tube est constant : d (B S) = 0, le nombre de particules
dans le volume du tube est aussi constant : d (nSl) = 0 (ceci est une conséquence
des théorèmes d’Alfvén démontrés à la fin du chapitre suivant). Enfin, l’invariant
longitudinal garanti l’invariance du produit de la vitesse parallèle par la longueur
d’une ligne de champ d
V l
= 0. Compte tenu de la définition de la pression
parallèle, P = nm
V
2
, lorsque les dimensions du tube de flux sont éliminées
entre ces trois équations nous obtenons les adiabatiques magnétisées.
Adiabatique classique :
P
n g =
P 0
n
g
0
Adiabatiques magnétisées CGL :
P ⊥
n B
=
P ⊥0
n 0 B 0
,
P B
2
n 3 =
P 0 B
2
0
n
3
0
(6.5)
Les deux dernières relations sont dues à Chew, Goldberg et Low et sont aussi appelées adiabatiques CGL.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Cette forme de l’équation d’Euler traduit la conservation du flux d’impulsion nVV.
Les forces électromagnétiques et de pression constituent un terme source de cette
équation. L’équation de continuité relative à la densité permet une réécriture plus
classique.
Équation d’Euler :
∂V
∂t
+ (V·∇) V = −
∇·P
nm
+
q
m
(E + V × B)
(6.4)
Cette deuxième forme s’interprète aisément en terme de relation fondamentale de la
dynamique pour une particule fluide. En général, le tenseur de pression est non diagonal ; une première approximation consiste à considérer le cas isotrope : P = PI.
Lorsque le champ magnétique est tel que la pression magnétique est beaucoup plus
grande que la pression cinétique, l’équation d’état couple non seulement la pression
et la densité mais les trois variables : pression, densité et champ magnétique. Dans de
telles situations, lorsque les collisions ne sont pas efficaces pour assurer une isotropisation rapide des vitesses, le tenseur de pression est anisotrope et la pression le long
des lignes de champ est différente de la pression perpendiculairement au champ.
P = P ⊥ I + (P − P ⊥ )
BB
B 2
L’équation d’état adiabatique des plasmas magnétisés fait usage des deux premiers
invariants adiabatiques (Tableau 5.3) et est appelée équation d’état adiabatique
double. En effet, le moment magnétique de chaque particule, mV
2
c /2B, est un
invariant lors des transformations lentes (adiabatiques) à l’échelle de la fréquence
cyclotronique et la pression perpendiculaire est définie par : P ⊥ = nm
V
2
c
/2,
ainsi P ⊥ /n B est constant. L’équation d’état relative à la pression parallèle est
obtenue en considérant un tube de flux, de longueur l et de section S. Le flux à
travers la section de ce tube est constant : d (B S) = 0, le nombre de particules
dans le volume du tube est aussi constant : d (nSl) = 0 (ceci est une conséquence
des théorèmes d’Alfvén démontrés à la fin du chapitre suivant). Enfin, l’invariant
longitudinal garanti l’invariance du produit de la vitesse parallèle par la longueur
d’une ligne de champ d
V l
= 0. Compte tenu de la définition de la pression
parallèle, P = nm
V
2
, lorsque les dimensions du tube de flux sont éliminées
entre ces trois équations nous obtenons les adiabatiques magnétisées.
Adiabatique classique :
P
n g =
P 0
n
g
0
Adiabatiques magnétisées CGL :
P ⊥
n B
=
P ⊥0
n 0 B 0
,
P B
2
n 3 =
P 0 B
2
0
n
3
0
(6.5)
Les deux dernières relations sont dues à Chew, Goldberg et Low et sont aussi appelées adiabatiques CGL.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit