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6 • Dynamique et structures électriques
Quant au troisième terme, il peut être réécrit sous la forme de l’intégrale de volume
d’une divergence dans l’espace des phases. Le théorème d’Ostrogradsky permet de
transformer cette dernière intégrale en une intégrale de flux à l’infini. La distribution
de vitesse s’annule à l’infini, ce troisième terme est donc nul.
(E + v × B) ·
∂ F
∂v
dv =
∂
∂v
· [(E + v × B) F] dv = 0
L’équation de continuité ainsi obtenue s’écrit :
Équation de continuité :
∂n
∂t
+ ∇· (nV) = 0
(6.3)
Cette équation traduit la conservation du nombre de particules, de la charge et de la
masse. Une deuxième équation fluide est obtenue à partir du moment d’ordre un de
l’équation de Vlasov :
v
∂ F
∂t
+ v ·
∂ F
∂r
+
q
m
(E + v × B) ·
∂ F
∂v
dv = 0
Compte-tenu de la définition de la vitesse eulérienne du plasma, le premier terme
s’exprime aisément comme un terme d’accélération locale, Le deuxième terme se
réduit à une accélération convective et à une force de pression en exprimant le tenseur
vv comme
vv = (v − V) (v − V) − VV + vV + Vv.
Le calcul du moment d’ordre un
vv·
∂ F
∂r
dv =
∂
∂r
·
vvFdv
se ramène alors à l’évaluation d’un gradient de variables hydrodynamiques ; compte
tenu des définitions de la vitesse et du tenseur de pression :
∂
∂r
·
[(v − V) (v − V) − VV + vV + Vv] Fdv = ∇·
P
m
+ nVV
Enfin, le dernier terme peut être intégré par parties dans l’espace des vitesses, faisant
ainsi apparaître la divergence de la variable vitesse.
v
∂
∂v
· [(E + v × B) F] dv = −n (E + V × B)
Le résultat final est donc l’équation du mouvement, ou équation d’Euler :
∂nV
∂t
+ ∇· (nVV) +
1
m
∇·P −
q
m
n (E + V × B) = 0
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