6.1 Modèles cinétiques et fluides
181
Densité : n (r,t) ≡
F(r, v,t)dv
Vitesse : V (r,t) ≡
vF(r, v,t)dv
n(r, t)
Pression : P(r,t) ≡ m
[V (r, t) −v] [V (r, t) −v] F(r, v,t)dv
(6.2)
Des moments d’ordre supérieur peuvent être définis, tels que le flux de chaleur qui est
un moment d’ordre trois. Dans ce cours nous étudierons la dynamique des moments
d’ordre zéro, un et deux. Nous considérons que le plasma obéit à une équation d’état
isentropique (2.33) ou isotherme (2.34) reliant pression, densité et température.
Partant de l’équation de Vlasov, il est possible d’intégrer cette équation sur la
variable de vitesse et de faire ainsi apparaître des couplages dynamiques entre
moments.
Malheureusement, la dynamique du moment d’ordre zéro est couplée à celle
du moment d’ordre un, celle du moment d’ordre un au moment d’ordre deux,
etc.
C’est le problème, courant en physique, des hiérarchies d’équations couplées. Il faut
donc élaborer une stratégie de coupure.
Nous considérerons que le tenseur de pression et la densité sont reliés entre
eux à travers une équation locale, isotherme sous l’hypothèse d’un transport
de chaleur rapide ou adiabatique sous l’hypothèse d’un transport de chaleur
lent.
L’équation de continuité et l’équation du mouvement forment alors, avec l’équation
d’état, un système possédant autant d’équations que d’inconnues. Nous allons donc
établir successivement les équations de continuité et du mouvement ; pour ce qui
concerne l’état thermodynamique cette dernière relation a été discutée à la fin du
chapitre deux. Abordons, en premier lieu, le problème de l’équation de continuité ;
pour ce faire, intégrons l’équation de Vlasov sur la vitesse dans l’espace des phases.
∂ F
∂t
+ v ·
∂ F
∂r
+
q
m
(E + v × B) ·
∂ F
∂v
dv = 0
Cette intégration fait apparaître les différentes variables hydrodynamiques conformément aux définitions précédentes. La vitesse et la position étant deux variables
indépendantes, le deuxième terme de l’équation de Vlasov devient :
v ·
∂ F(r, v,t)
∂r
dv =
∂n(r,t)V(r,t)
∂r
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Densité : n (r,t) ≡
F(r, v,t)dv
Vitesse : V (r,t) ≡
vF(r, v,t)dv
n(r, t)
Pression : P(r,t) ≡ m
[V (r, t) −v] [V (r, t) −v] F(r, v,t)dv
(6.2)
Des moments d’ordre supérieur peuvent être définis, tels que le flux de chaleur qui est
un moment d’ordre trois. Dans ce cours nous étudierons la dynamique des moments
d’ordre zéro, un et deux. Nous considérons que le plasma obéit à une équation d’état
isentropique (2.33) ou isotherme (2.34) reliant pression, densité et température.
Partant de l’équation de Vlasov, il est possible d’intégrer cette équation sur la
variable de vitesse et de faire ainsi apparaître des couplages dynamiques entre
moments.
Malheureusement, la dynamique du moment d’ordre zéro est couplée à celle
du moment d’ordre un, celle du moment d’ordre un au moment d’ordre deux,
etc.
C’est le problème, courant en physique, des hiérarchies d’équations couplées. Il faut
donc élaborer une stratégie de coupure.
Nous considérerons que le tenseur de pression et la densité sont reliés entre
eux à travers une équation locale, isotherme sous l’hypothèse d’un transport
de chaleur rapide ou adiabatique sous l’hypothèse d’un transport de chaleur
lent.
L’équation de continuité et l’équation du mouvement forment alors, avec l’équation
d’état, un système possédant autant d’équations que d’inconnues. Nous allons donc
établir successivement les équations de continuité et du mouvement ; pour ce qui
concerne l’état thermodynamique cette dernière relation a été discutée à la fin du
chapitre deux. Abordons, en premier lieu, le problème de l’équation de continuité ;
pour ce faire, intégrons l’équation de Vlasov sur la vitesse dans l’espace des phases.
∂ F
∂t
+ v ·
∂ F
∂r
+
q
m
(E + v × B) ·
∂ F
∂v
dv = 0
Cette intégration fait apparaître les différentes variables hydrodynamiques conformément aux définitions précédentes. La vitesse et la position étant deux variables
indépendantes, le deuxième terme de l’équation de Vlasov devient :
v ·
∂ F(r, v,t)
∂r
dv =
∂n(r,t)V(r,t)
∂r
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit