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6 • Dynamique et structures électriques
6.1 MODÈLES CINÉTIQUES ET FLUIDES
6.1.1 Réduction fluide
Considérons la fonction de distribution à une particule F(r, v, t), puis, sur la base
de cette fonction, appliquons-nous à l’étude des phénomènes rapides possédant une
échelle de temps plus courte, que le temps de collision. Sur cette échelle de temps
courte, la dynamique du plasma est dominée par l’effet des champs électromagnétiques : E(r, t) et B(r, t). Chaque particule subissant la force de Lorentz résultant de
l’interaction avec ces champs, le problème est de transcrire cette dynamique microscopique en terme d’évolution de la fonction de distribution F(r, v, t). Pour ce faire,
calculons les déplacements lagrangiens infinitésimaux dans l’espace des phases pendant une durée dt.
dr
dt
= v,
dv
dt
=
q
m
E(r, t) +
q
m
v × B(r, t)
Lorsque l’incrément de temps dt tend vers zéro les termes de diffusion, drdr/dt et
dvdv/dt, tendent vers zero et l’équation aux dérivées partielles vérifiée par F peut
être établie conformément à l’équation de Fokker-Planck (2.29) :
∂ F
∂t
= −
∂
∂r
·vF −
∂
∂v
·
q
m
E +
q
m
v × B
F
Cette dernière expression, qui exprime la variation temporelle de F comme la divergence d’un flux, est ensuite réarangée compte tenu de l’identité
∂
∂v
× v = 0
pour obtenir la forme classique de l’équation dite de Vlasov.
Équation de Vlasov :
∂ F
∂t
+ v ·
∂ F
∂r
+
q
m
(E + v × B) ·
∂ F
∂v
= 0
(6.1)
Soit une population de particules chargées, de masse m et de charge q, décrite par
la fonction de distribution en position et vitesse F(r, v,t) ; cette fonction peut être
interprétée dans un cadre statistique comme le nombre moyen de particules dans un
élément drdv autour du point r, v. Sur la base de cette interprétation les variables
hydrodynamiques sont aisément définies. Tout d’abord, la densité de particule n (r, t)
et la densité volumique de masse r(r,t) = mn(r,t). Ensuite, le moment d’ordre un
permet de définir la vitesse eulérienne du fluide V(r,t), qui est la vitesse moyenne
de l’ensemble des particules se trouvant en r à l’instant t. Enfin, le tenseur de pression P(r,t) mesure l’écart quadratique, entre cette vitesse moyenne et les vitesses
particulaires.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
6 • Dynamique et structures électriques
6.1 MODÈLES CINÉTIQUES ET FLUIDES
6.1.1 Réduction fluide
Considérons la fonction de distribution à une particule F(r, v, t), puis, sur la base
de cette fonction, appliquons-nous à l’étude des phénomènes rapides possédant une
échelle de temps plus courte, que le temps de collision. Sur cette échelle de temps
courte, la dynamique du plasma est dominée par l’effet des champs électromagnétiques : E(r, t) et B(r, t). Chaque particule subissant la force de Lorentz résultant de
l’interaction avec ces champs, le problème est de transcrire cette dynamique microscopique en terme d’évolution de la fonction de distribution F(r, v, t). Pour ce faire,
calculons les déplacements lagrangiens infinitésimaux dans l’espace des phases pendant une durée dt.
dr
dt
= v,
dv
dt
=
q
m
E(r, t) +
q
m
v × B(r, t)
Lorsque l’incrément de temps dt tend vers zéro les termes de diffusion, drdr/dt et
dvdv/dt, tendent vers zero et l’équation aux dérivées partielles vérifiée par F peut
être établie conformément à l’équation de Fokker-Planck (2.29) :
∂ F
∂t
= −
∂
∂r
·vF −
∂
∂v
·
q
m
E +
q
m
v × B
F
Cette dernière expression, qui exprime la variation temporelle de F comme la divergence d’un flux, est ensuite réarangée compte tenu de l’identité
∂
∂v
× v = 0
pour obtenir la forme classique de l’équation dite de Vlasov.
Équation de Vlasov :
∂ F
∂t
+ v ·
∂ F
∂r
+
q
m
(E + v × B) ·
∂ F
∂v
= 0
(6.1)
Soit une population de particules chargées, de masse m et de charge q, décrite par
la fonction de distribution en position et vitesse F(r, v,t) ; cette fonction peut être
interprétée dans un cadre statistique comme le nombre moyen de particules dans un
élément drdv autour du point r, v. Sur la base de cette interprétation les variables
hydrodynamiques sont aisément définies. Tout d’abord, la densité de particule n (r, t)
et la densité volumique de masse r(r,t) = mn(r,t). Ensuite, le moment d’ordre un
permet de définir la vitesse eulérienne du fluide V(r,t), qui est la vitesse moyenne
de l’ensemble des particules se trouvant en r à l’instant t. Enfin, le tenseur de pression P(r,t) mesure l’écart quadratique, entre cette vitesse moyenne et les vitesses
particulaires.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit