5.4 Invariants adiabatiques
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nom d’invariant de flux. La démonstration de l’invariance de F est facilitée par le
fait que le terme cinétique est petit devant le terme magnétique. Afin d’établir ce
résultat, considérons le rapport du premier terme sur le deuxième où R est le rayon
de section de la surface entourée par la dérive : m RV D /q R
2 B. Ce rayon est de l’ordre
de grandeur du rayon de courbure, ou de la longueur de gradient, de la configuration
magnétique. Ce rapport du terme cinétique sur le terme magnétique est négligeable
compte tenu de l’ordering adiabatique. L’invariant de flux peut donc être exprimé
comme le flux enlacé par l’orbite de dérive.
m RV D
q R 2 B
≈
r L
R
2 → F ≈
q
2p
B·dS
Rappelons que le flux à travers une section de surface magnétique est indépendant
de la section car ∇·B = 0. Considérons maintenant une variation temporelle de
champ magnétique et montrons que l’invariant de flux reste conservé. Un champ
magnétique dépendant du temps induit un champ électrique : ∇ × E = −∂B/∂t ;
ce champ électrique génère une dérive électrique V E (5.13) des particules chargées.
Par ailleurs la variation de l’invariant de flux doit prendre en compte la variation
intrinsèque du champ et la déformation du circuit à travers lequel est calculé le flux.
Ce deuxième terme est un effet de bord qui se réduit à une circulation.
dF
dt
=
q
2p
∂B
∂t
·dS+
q
2p
B· (V E × dl)
L’équation de Maxwell-Faraday et le théorème de Stokes permettent d’exprimer la
première intégrale comme une circulation.
dF
dt
= −
q
2p
E·dl+
q
2p
B ×
E × B
B 2
·dl →
dF
dt
= 0
(5.27)
Le champ d’induction E étant perpendiculaire au champ magnétique B, la somme
précédente est donc nulle et le flux est un invariant adiabatique.
Ces trois invariants permettent une description du mouvement des particules
chargées dans des champs lentement variables à l’échelle de la fréquence
cyclotronique et faiblement inhomogènes à l’échelle du rayon de Larmor.
Pour garantir l’existence de ces invariants, les trois périodes associées aux trois mouvements V c , V , V D doivent être différentes afin d’éviter toute brisure d’invariance
associée à des résonances entre degrés de liberté. Une particule est donc repérée par
un jeu de trois invariants (m, J , F) et trois angles associés à ces actions. Ces trois
angles sont respectivement la phase cyclotronique, un paramétrage entre [0, 2p] de
l’oscillation entre les deux points miroirs le long des lignes de champ, et l’angle de
rotation autour de la surface magnétique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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nom d’invariant de flux. La démonstration de l’invariance de F est facilitée par le
fait que le terme cinétique est petit devant le terme magnétique. Afin d’établir ce
résultat, considérons le rapport du premier terme sur le deuxième où R est le rayon
de section de la surface entourée par la dérive : m RV D /q R
2 B. Ce rayon est de l’ordre
de grandeur du rayon de courbure, ou de la longueur de gradient, de la configuration
magnétique. Ce rapport du terme cinétique sur le terme magnétique est négligeable
compte tenu de l’ordering adiabatique. L’invariant de flux peut donc être exprimé
comme le flux enlacé par l’orbite de dérive.
m RV D
q R 2 B
≈
r L
R
2 → F ≈
q
2p
B·dS
Rappelons que le flux à travers une section de surface magnétique est indépendant
de la section car ∇·B = 0. Considérons maintenant une variation temporelle de
champ magnétique et montrons que l’invariant de flux reste conservé. Un champ
magnétique dépendant du temps induit un champ électrique : ∇ × E = −∂B/∂t ;
ce champ électrique génère une dérive électrique V E (5.13) des particules chargées.
Par ailleurs la variation de l’invariant de flux doit prendre en compte la variation
intrinsèque du champ et la déformation du circuit à travers lequel est calculé le flux.
Ce deuxième terme est un effet de bord qui se réduit à une circulation.
dF
dt
=
q
2p
∂B
∂t
·dS+
q
2p
B· (V E × dl)
L’équation de Maxwell-Faraday et le théorème de Stokes permettent d’exprimer la
première intégrale comme une circulation.
dF
dt
= −
q
2p
E·dl+
q
2p
B ×
E × B
B 2
·dl →
dF
dt
= 0
(5.27)
Le champ d’induction E étant perpendiculaire au champ magnétique B, la somme
précédente est donc nulle et le flux est un invariant adiabatique.
Ces trois invariants permettent une description du mouvement des particules
chargées dans des champs lentement variables à l’échelle de la fréquence
cyclotronique et faiblement inhomogènes à l’échelle du rayon de Larmor.
Pour garantir l’existence de ces invariants, les trois périodes associées aux trois mouvements V c , V , V D doivent être différentes afin d’éviter toute brisure d’invariance
associée à des résonances entre degrés de liberté. Une particule est donc repérée par
un jeu de trois invariants (m, J , F) et trois angles associés à ces actions. Ces trois
angles sont respectivement la phase cyclotronique, un paramétrage entre [0, 2p] de
l’oscillation entre les deux points miroirs le long des lignes de champ, et l’angle de
rotation autour de la surface magnétique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit