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5 • Interactions champs-particules
Les variations de l’intégrant sont donc nulles, d
V ds
= 0 ; les variations de l’intégrale ne peuvent provenir que des bornes d’intégrations constituées par les deux
points miroirs. La vitesse parallèle s’annulant en ces deux points, la variation de l’intégrale aussi, ainsi d J /dt = 0. Considérons, à présent, le cas d’un champ B(s, t)
où les inhomogénéités transverses sont négligées et où la dépendance temporelle est
prise en compte.
J =
s2(t)
s1(t)
2
m
(W(t) − mB(s, t))ds
(5.26)
L’énergie W n’est pas conservée car la variation temporelle du champ magnétique
induit un champ électrique d’induction. La variation temporelle de l’intégrale d’action est donc la somme de trois termes,
d J
dt
=
∂ J
∂t
W,s1,2
+
∂ J
∂W
s1,2,t
dW
dt
+
∂ J
∂s 1,2
W,t
ds 1,2
dt
Comme la vitesse curviligne s’annule aux points miroirs, le troisième terme est nul.
d J
dt
=
s2
s1
−
m
mV
∂ B
∂t
ds +
mV
dV
dt
+ m
∂ B
∂t
+ mV
∂ B
∂s
s2
s1
1
V
ds
Compte tenu de la force diamagnétique le premier et le troisième terme, à l’intérieur de la parenthèse du deuxième membre de cette relation, se compensent. Sous
l’hypothèse d’adiabaticité les variations temporelles du champ sont lentes à l’échelle
de la période d’oscillation entre les deux points miroirs. Le terme de dérivée temporelle du champ par rapport au temps peut donc être sorti de l’intégrale, il annule
alors le deuxième terme de l’équation précédente. La variation temporelle de J est
donc nulle. Cette intégrale d’action est un invariant adiabatique, l’invariant longitudinal. L’invariance du moment magnétique est associée au mouvement de rotation
cyclotronique, celle de l’invariant longitudinal au mouvement le long des lignes de
champ.
5.4.3 Invariant de flux
Un troisième invariant, lié au mouvement de dérive à travers les lignes de champ,
peut être identifié lorsque ce mouvement est quasi périodique : c’est l’invariant dit de
flux. Soit une configuration magnétique telle que le mouvement de dérive perpendiculairement aux lignes de champ soit quasi-périodique. L’intégrale d’action associée
à ce mouvement est donnée par :
F ≡
1
2p
(mV D + qA) ·dr
Contrairement à l’invariant longitudinal, dominé par le terme cinétique, la valeur de
l’invariant de flux provient presque essentiellement du terme magnétique, d’où son
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
5 • Interactions champs-particules
Les variations de l’intégrant sont donc nulles, d
V ds
= 0 ; les variations de l’intégrale ne peuvent provenir que des bornes d’intégrations constituées par les deux
points miroirs. La vitesse parallèle s’annulant en ces deux points, la variation de l’intégrale aussi, ainsi d J /dt = 0. Considérons, à présent, le cas d’un champ B(s, t)
où les inhomogénéités transverses sont négligées et où la dépendance temporelle est
prise en compte.
J =
s2(t)
s1(t)
2
m
(W(t) − mB(s, t))ds
(5.26)
L’énergie W n’est pas conservée car la variation temporelle du champ magnétique
induit un champ électrique d’induction. La variation temporelle de l’intégrale d’action est donc la somme de trois termes,
d J
dt
=
∂ J
∂t
W,s1,2
+
∂ J
∂W
s1,2,t
dW
dt
+
∂ J
∂s 1,2
W,t
ds 1,2
dt
Comme la vitesse curviligne s’annule aux points miroirs, le troisième terme est nul.
d J
dt
=
s2
s1
−
m
mV
∂ B
∂t
ds +
mV
dV
dt
+ m
∂ B
∂t
+ mV
∂ B
∂s
s2
s1
1
V
ds
Compte tenu de la force diamagnétique le premier et le troisième terme, à l’intérieur de la parenthèse du deuxième membre de cette relation, se compensent. Sous
l’hypothèse d’adiabaticité les variations temporelles du champ sont lentes à l’échelle
de la période d’oscillation entre les deux points miroirs. Le terme de dérivée temporelle du champ par rapport au temps peut donc être sorti de l’intégrale, il annule
alors le deuxième terme de l’équation précédente. La variation temporelle de J est
donc nulle. Cette intégrale d’action est un invariant adiabatique, l’invariant longitudinal. L’invariance du moment magnétique est associée au mouvement de rotation
cyclotronique, celle de l’invariant longitudinal au mouvement le long des lignes de
champ.
5.4.3 Invariant de flux
Un troisième invariant, lié au mouvement de dérive à travers les lignes de champ,
peut être identifié lorsque ce mouvement est quasi périodique : c’est l’invariant dit de
flux. Soit une configuration magnétique telle que le mouvement de dérive perpendiculairement aux lignes de champ soit quasi-périodique. L’intégrale d’action associée
à ce mouvement est donnée par :
F ≡
1
2p
(mV D + qA) ·dr
Contrairement à l’invariant longitudinal, dominé par le terme cinétique, la valeur de
l’invariant de flux provient presque essentiellement du terme magnétique, d’où son
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit