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5 • Interactions champs-particules
5.4.2 Invariant longitudinal
De nombreuses configurations magnétiques permettent de réaliser des lignes
de champ possédant deux points miroirs entre lesquels certaines particules
peuvent être piégées.
Le résultat du piégeage entre les points miroirs étant une oscillation le long des lignes
de champ où mB joue le rôle d’un potentiel confinant représenté sur la figure 5.12.
On peut alors se poser la question de l’existence d’un invariant adiabatique associé à
cette oscillation longitudinale. La réponse est obtenue en appliquant la formule générale exprimant l’action de cet oscillateur ; cette formule permet de définir l’invariant
longitudinal J d’une particule chargée dans une configuration magnétique comme :
J ≡
mV + q A
ds =
s2
s1
mV ds,
(5.25)
où s est l’abscisse curviligne le long de la ligne de champ et (s 1 , s 2 ) sont les deux
points miroirs entre lesquels oscille la particule. Dans le troisième membre de cette
identité nous avons négligé l’intégrale donnant la circulation du potentiel vecteur car
elle est égale au flux du champ magnétique à travers la trajectoire fermée qui est
nulle car le centre guide se déplace le long des lignes de champ. Nous verrons que
pour le troisième invariant adiabatique la situation est complémentaire et ce troisième
invariant est dominé par le terme de flux magnétique et non par le terme cinétique.
s
B
B M
B 0
+
Figure 5.12 Oscillation longitudinale entre deux points miroirs du potentiel mB en fonction de
l’abscisse curviligne le long de la ligne de champ.
Afin de démontrer l’invariance de J nous allons considérer séparément le cas d’un
champ inhomogène statique et le cas d’un champ dépendant du temps. Soit donc un
champ magnétique statique B(s, r ⊥ ) et deux éléments de lignes de champ voisins
de longueur ds et ds
, de rayon de courbure respectif R et R
; cette configuration
locale est illustrée par la figure 5.13. Ces deux éléments de longueur sont vus sous
un angle commun et possédent un vecteur normal unitaire commun n. Par ailleurs,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
5 • Interactions champs-particules
5.4.2 Invariant longitudinal
De nombreuses configurations magnétiques permettent de réaliser des lignes
de champ possédant deux points miroirs entre lesquels certaines particules
peuvent être piégées.
Le résultat du piégeage entre les points miroirs étant une oscillation le long des lignes
de champ où mB joue le rôle d’un potentiel confinant représenté sur la figure 5.12.
On peut alors se poser la question de l’existence d’un invariant adiabatique associé à
cette oscillation longitudinale. La réponse est obtenue en appliquant la formule générale exprimant l’action de cet oscillateur ; cette formule permet de définir l’invariant
longitudinal J d’une particule chargée dans une configuration magnétique comme :
J ≡
mV + q A
ds =
s2
s1
mV ds,
(5.25)
où s est l’abscisse curviligne le long de la ligne de champ et (s 1 , s 2 ) sont les deux
points miroirs entre lesquels oscille la particule. Dans le troisième membre de cette
identité nous avons négligé l’intégrale donnant la circulation du potentiel vecteur car
elle est égale au flux du champ magnétique à travers la trajectoire fermée qui est
nulle car le centre guide se déplace le long des lignes de champ. Nous verrons que
pour le troisième invariant adiabatique la situation est complémentaire et ce troisième
invariant est dominé par le terme de flux magnétique et non par le terme cinétique.
s
B
B M
B 0
+
Figure 5.12 Oscillation longitudinale entre deux points miroirs du potentiel mB en fonction de
l’abscisse curviligne le long de la ligne de champ.
Afin de démontrer l’invariance de J nous allons considérer séparément le cas d’un
champ inhomogène statique et le cas d’un champ dépendant du temps. Soit donc un
champ magnétique statique B(s, r ⊥ ) et deux éléments de lignes de champ voisins
de longueur ds et ds
, de rayon de courbure respectif R et R
; cette configuration
locale est illustrée par la figure 5.13. Ces deux éléments de longueur sont vus sous
un angle commun et possédent un vecteur normal unitaire commun n. Par ailleurs,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit