5.4 Invariants adiabatiques
171
potentiel vecteur A = B × r/2, est décrit par l’évolution de la vitesse et de la position :
r = r L
cos (v c t) u x − sin (v c t) u y
et V c = −V c
sin (v c t) u x + cos (v c t) u y
.
L’intégrale d’action associée à cette oscillation est donnée par :
J =
1
2p
mV c +q
B × r
2
·dr =
m
q
m
Le moment magnétique m défini précédemment est donc un invariant adiabatique
et la théorie générale de l’invariance adiabatique des actions confirme les résultats
précédents. Cette invariance a comme conséquence l’existence de points miroirs le
long d’une ligne de champ. En effet, l’énergie cinétique et le moment magnétique
sont conservés ; il existe donc deux relations entre l’état du système à l’instant t et
son état antérieur à l’instant t 0 :
Invariance de l’énergie : V
2
c (t) + V
2
(t) = V
2
c (t 0 ) + V
2
(t 0 )
Invariance du moment magnétique :
V
2
c (t)
B(r(t))
=
V
2
c (t 0 )
B(r(t 0 ))
Éliminons la vitesse cyclotronique pour exprimer la vitesse parallèle en fonction du
champ et des caractéristiques de la particule à l’instant de référence t 0 .
V
2
(t) = V
2
(t 0 ) − V
2
c (t 0 )
B(r(t)) − B(r(t 0 ))
B(r(t 0 ))
Ainsi, si le rapport de la vitesse parallèle initiale V (t 0 ) sur la vitesse cyclotronique initiale V c (t 0 ) est petit, il existe un point r (B (r (t)) > B (r (t 0 ))) le long
de la ligne de champ où la vitesse parallèle s’annule, V
2
(t) = 0, une analyse plus
poussée montre que la particule est réfléchie par cette zone de champ fort ; c’est
essentiellement la force diamagnétique (5.10) qui est à l’oeuvre ici et ce point est
appelé point miroir. L’usage est d’introduire le pitch angle u de la particule :
V
= V cos u, |V c | = V sin u. Une particule de pitch angle initial u 0 en un point
où le champ a la valeur B 0 subira une réflexion en un point où le champ a la valeur B
si : sin u 0 =
B 0 /B. Toutes les particules de pitch angle supérieur seront réfléchies
avant d’atteindre le point B. Ce processus est utilisé comme principe de base des
pièges thermonucléaires de type miroirs magnétiques. Ce processus est aussi présent
dans la magnétosphère terrestre où il assure le confinement des électrons et des ions
issus du vent solaire.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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potentiel vecteur A = B × r/2, est décrit par l’évolution de la vitesse et de la position :
r = r L
cos (v c t) u x − sin (v c t) u y
et V c = −V c
sin (v c t) u x + cos (v c t) u y
.
L’intégrale d’action associée à cette oscillation est donnée par :
J =
1
2p
mV c +q
B × r
2
·dr =
m
q
m
Le moment magnétique m défini précédemment est donc un invariant adiabatique
et la théorie générale de l’invariance adiabatique des actions confirme les résultats
précédents. Cette invariance a comme conséquence l’existence de points miroirs le
long d’une ligne de champ. En effet, l’énergie cinétique et le moment magnétique
sont conservés ; il existe donc deux relations entre l’état du système à l’instant t et
son état antérieur à l’instant t 0 :
Invariance de l’énergie : V
2
c (t) + V
2
(t) = V
2
c (t 0 ) + V
2
(t 0 )
Invariance du moment magnétique :
V
2
c (t)
B(r(t))
=
V
2
c (t 0 )
B(r(t 0 ))
Éliminons la vitesse cyclotronique pour exprimer la vitesse parallèle en fonction du
champ et des caractéristiques de la particule à l’instant de référence t 0 .
V
2
(t) = V
2
(t 0 ) − V
2
c (t 0 )
B(r(t)) − B(r(t 0 ))
B(r(t 0 ))
Ainsi, si le rapport de la vitesse parallèle initiale V (t 0 ) sur la vitesse cyclotronique initiale V c (t 0 ) est petit, il existe un point r (B (r (t)) > B (r (t 0 ))) le long
de la ligne de champ où la vitesse parallèle s’annule, V
2
(t) = 0, une analyse plus
poussée montre que la particule est réfléchie par cette zone de champ fort ; c’est
essentiellement la force diamagnétique (5.10) qui est à l’oeuvre ici et ce point est
appelé point miroir. L’usage est d’introduire le pitch angle u de la particule :
V
= V cos u, |V c | = V sin u. Une particule de pitch angle initial u 0 en un point
où le champ a la valeur B 0 subira une réflexion en un point où le champ a la valeur B
si : sin u 0 =
B 0 /B. Toutes les particules de pitch angle supérieur seront réfléchies
avant d’atteindre le point B. Ce processus est utilisé comme principe de base des
pièges thermonucléaires de type miroirs magnétiques. Ce processus est aussi présent
dans la magnétosphère terrestre où il assure le confinement des électrons et des ions
issus du vent solaire.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit