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5 • Interactions champs-particules
La généralisation de ce résultat sera présentée dans un cadre hamiltonien au chapitre
dix : pour tout mouvement périodique, X (t), l’action J ≡
m
2p
d X
dt
d X, où l’intégrale doit être prise sur une période complète de l’oscillation, constitue un invariant
adiabatique.
2V
2D
V
2D'
V
2V'
X
X
J
J
Figure 5.11 Invariance de l’action dans l’espace des phases.
Une interprétation géométrique de l’invariance de l’intégrale d’action peut être
construite dans l’espace des phases (X , V ) ; dans cet espace l’aire (
V d X) sous
tendu par une orbite fermée est proportionnelle à l’action J et l’invariance de l’action
implique l’invariance de l’aire, la figue 5.11 illustre ce résultat (dans le cas de la
figure 5.10) dont nous démontrerons le caractère universel dans le dernier chapitre.
L’intégrale d’action pour un système à un degré de liberté peut être généralisée
aux systèmes à plusieurs degrés de liberté, en particulier, lorsque ces différents
degrés évoluent sur des échelles de temps très différentes. En présence d’un champ
magnétique, dérivant du potentiel vecteur A, le moment canoniquement conjugué à
la position doit être pris en compte dans le calcul de l’action.
J ≡
1
2p
mv·dr →J ≡
1
2p
(mv+qA) ·dr
Considérons le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique,
champ et particule vérifiant les hypothèses d’adiabaticité. Le mouvement le plus
rapide correspond au mouvement cyclotronique. Puis, sur une échelle de temps plus
longue, la particule oscille le long d’une ligne de champ (ce point va être précisé dans
la suite de ce paragraphe), et enfin, sur échelle de temps plus longue, elle explore la
configuration magnétique à travers les dérives de gradient et de courbure. Ce dernier
mouvement peut être aussi périodique et définir ainsi une surface de dérive fermée.
Nous allons d’abord identifier l’invariant associé à l’oscillation cyclotronique. Le
mouvement cyclotronique dans un champ magnétique homogène B, dérivant d’un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
5 • Interactions champs-particules
La généralisation de ce résultat sera présentée dans un cadre hamiltonien au chapitre
dix : pour tout mouvement périodique, X (t), l’action J ≡
m
2p
d X
dt
d X, où l’intégrale doit être prise sur une période complète de l’oscillation, constitue un invariant
adiabatique.
2V
2D
V
2D'
V
2V'
X
X
J
J
Figure 5.11 Invariance de l’action dans l’espace des phases.
Une interprétation géométrique de l’invariance de l’intégrale d’action peut être
construite dans l’espace des phases (X , V ) ; dans cet espace l’aire (
V d X) sous
tendu par une orbite fermée est proportionnelle à l’action J et l’invariance de l’action
implique l’invariance de l’aire, la figue 5.11 illustre ce résultat (dans le cas de la
figure 5.10) dont nous démontrerons le caractère universel dans le dernier chapitre.
L’intégrale d’action pour un système à un degré de liberté peut être généralisée
aux systèmes à plusieurs degrés de liberté, en particulier, lorsque ces différents
degrés évoluent sur des échelles de temps très différentes. En présence d’un champ
magnétique, dérivant du potentiel vecteur A, le moment canoniquement conjugué à
la position doit être pris en compte dans le calcul de l’action.
J ≡
1
2p
mv·dr →J ≡
1
2p
(mv+qA) ·dr
Considérons le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique,
champ et particule vérifiant les hypothèses d’adiabaticité. Le mouvement le plus
rapide correspond au mouvement cyclotronique. Puis, sur une échelle de temps plus
longue, la particule oscille le long d’une ligne de champ (ce point va être précisé dans
la suite de ce paragraphe), et enfin, sur échelle de temps plus longue, elle explore la
configuration magnétique à travers les dérives de gradient et de courbure. Ce dernier
mouvement peut être aussi périodique et définir ainsi une surface de dérive fermée.
Nous allons d’abord identifier l’invariant associé à l’oscillation cyclotronique. Le
mouvement cyclotronique dans un champ magnétique homogène B, dérivant d’un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit