5.4 Invariants adiabatiques
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être formalisée et systématisée dans le cadre de la mécanique hamiltonienne où les
actions constituent de tels invariants, cette approche sera étudiée dans le dernier chapitre. Enfin, notons que l’existence d’invariants est garantie pour les systèmes possédant un groupe de symétrie continu, cette garantie constitue le théorème de Noether.
Les invariants adiabatiques, que nous allons construire ici, ne sont pas associés
aux symétries d’un système conservatif, mais à l’existence de trois échelles
de temps bien séparées, c’est-à-dire à l’existence d’un ordering séparant les
composantes lentes et rapides du mouvement.
Ces échelles permettent de décomposer le mouvement en trois dynamiques découplées, chacune possédant les caractéristiques d’un oscillateur.
Pour un oscillateur linéaire à un degré de liberté X (d
2 X /dt
2 + V
2 (t)X (t) = 0) le
rapport de l’énergie à la fréquence est un invariant adiabatique, parfois appelé invariant d’Erhenfest. Ce terme signifie que lorsque V varie lentement, dV/dt V
2 , le
rapport de l’énergie sur la pulsation reste approximativement constant. L’erreur commise en le considérant comme constant est exponentiellement petite. Ce résultat se
généralise aisément au cas des oscillateurs non-linéaires (d
2 X /dt
2 + F (X , t) = 0).
L’oscillateur non linéaire le plus simple illustrant cette propriété d’invariance adiabatique est constitué par une particule rebondissant entre deux murs distants d’une
longueur 2D ; ces murs se rapprochant lentement à la vitesse U = −dD/dt (Figure
5.10).
X
2D(t)
V(t)
U
U
Figure 5.10 Oscillateur non-linéaire en régime adiabatique.
La vitesse de la particule sera notée V et l’hypothèse d’adiabaticité se traduit par
U V . Après une collision sur l’un des murs en mouvement, la particule subit
une variation de vitesse dV = 2U et le temps entre deux collisions est donné par
dt =
2D
V
; on obtient donc :
dV
dt
=
U V
D
= −
dD
dt
V
D
→ d (V D) = 0 → d
V d X
= 0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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être formalisée et systématisée dans le cadre de la mécanique hamiltonienne où les
actions constituent de tels invariants, cette approche sera étudiée dans le dernier chapitre. Enfin, notons que l’existence d’invariants est garantie pour les systèmes possédant un groupe de symétrie continu, cette garantie constitue le théorème de Noether.
Les invariants adiabatiques, que nous allons construire ici, ne sont pas associés
aux symétries d’un système conservatif, mais à l’existence de trois échelles
de temps bien séparées, c’est-à-dire à l’existence d’un ordering séparant les
composantes lentes et rapides du mouvement.
Ces échelles permettent de décomposer le mouvement en trois dynamiques découplées, chacune possédant les caractéristiques d’un oscillateur.
Pour un oscillateur linéaire à un degré de liberté X (d
2 X /dt
2 + V
2 (t)X (t) = 0) le
rapport de l’énergie à la fréquence est un invariant adiabatique, parfois appelé invariant d’Erhenfest. Ce terme signifie que lorsque V varie lentement, dV/dt V
2 , le
rapport de l’énergie sur la pulsation reste approximativement constant. L’erreur commise en le considérant comme constant est exponentiellement petite. Ce résultat se
généralise aisément au cas des oscillateurs non-linéaires (d
2 X /dt
2 + F (X , t) = 0).
L’oscillateur non linéaire le plus simple illustrant cette propriété d’invariance adiabatique est constitué par une particule rebondissant entre deux murs distants d’une
longueur 2D ; ces murs se rapprochant lentement à la vitesse U = −dD/dt (Figure
5.10).
X
2D(t)
V(t)
U
U
Figure 5.10 Oscillateur non-linéaire en régime adiabatique.
La vitesse de la particule sera notée V et l’hypothèse d’adiabaticité se traduit par
U V . Après une collision sur l’un des murs en mouvement, la particule subit
une variation de vitesse dV = 2U et le temps entre deux collisions est donné par
dt =
2D
V
; on obtient donc :
dV
dt
=
U V
D
= −
dD
dt
V
D
→ d (V D) = 0 → d
V d X
= 0
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