5.3 Force pondéromotrice
167
Le terme constant du troisième membre de cette deuxième identité décrit une dérive
uniformément accélérée de la particule. Cette dérive est induite par la force dite pondéromotrice (ou diélectrique) longitudinale F p .
F p = −
q
2
4mv 2 ∇E
2
(5.22)
Le cas d’un champ transverse est légèrement différent car l’existence de la force
pondéromotrice est due, pour partie, au champ magnétique.
5.3.2 Champ transverse
Soit une particule, de charge q et de masse m, interagissant avec une onde électromagnétique transverse inhomogène de champ électrique E(r, t) = E(r) cos(k·r − vt)
et de champ magnétique B(r, t) = B(r) cos(k·r − vt). L’échelle de variation des
amplitudes, E(r) et B(r), est supposée grande devant l’amplitude des oscillations
linéaires et la longueur d’onde 2p/k. L’équation du mouvement est donnée par :
d
2
r
dt 2 =
q
m
E(r) cos(k·r − vt) +
q
m
dr
dt
× B(r) cos(k·r − vt)
Pour des ondes dont la vitesse de phase est de l’ordre de grandeur de la vitesse de la
lumière et des particules dont les vitesses sont non relativistes, le terme de Laplace
est petit devant le terme de Coulomb. En première approximation le mouvement est
donc une oscillation entretenue par le champ électrique.
r(t) = r 0 + r 1 + ... → r 0 (t) = −
q
mv 2 E cos(vt)
Le terme suivant doit prendre en compte l’inhomogénéité du champ électrique et la
force de Laplace magnétique.
m
q
d
2
r 1
dt 2 = r 0 (t)·∇E cos(vt) +
dr 0
dt
× B cos(vt)
Compte tenu de l’identité (E·∇) E = ∇
E
2
2
+E×
∂B
∂t
, la moyenne sur la phase rapide
vt de l’équation précédente permet d’obtenir un résultat similaire au cas précédent.
d
2
r 1
dt 2
= −
q
2
4m 2 v 2 ∇E
2
Ainsi l’expression de la force pondéromotrice d’un champ transverse est identique à
celle d’un champ longitudinal ; la particule est poussée des zones de champ fort
vers les zones de champ faible. La densité volumique de force pondéromotrice,
F p , est égale à la force (5.22) que multiplie la densité de particules n, faisant ainsi
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Le terme constant du troisième membre de cette deuxième identité décrit une dérive
uniformément accélérée de la particule. Cette dérive est induite par la force dite pondéromotrice (ou diélectrique) longitudinale F p .
F p = −
q
2
4mv 2 ∇E
2
(5.22)
Le cas d’un champ transverse est légèrement différent car l’existence de la force
pondéromotrice est due, pour partie, au champ magnétique.
5.3.2 Champ transverse
Soit une particule, de charge q et de masse m, interagissant avec une onde électromagnétique transverse inhomogène de champ électrique E(r, t) = E(r) cos(k·r − vt)
et de champ magnétique B(r, t) = B(r) cos(k·r − vt). L’échelle de variation des
amplitudes, E(r) et B(r), est supposée grande devant l’amplitude des oscillations
linéaires et la longueur d’onde 2p/k. L’équation du mouvement est donnée par :
d
2
r
dt 2 =
q
m
E(r) cos(k·r − vt) +
q
m
dr
dt
× B(r) cos(k·r − vt)
Pour des ondes dont la vitesse de phase est de l’ordre de grandeur de la vitesse de la
lumière et des particules dont les vitesses sont non relativistes, le terme de Laplace
est petit devant le terme de Coulomb. En première approximation le mouvement est
donc une oscillation entretenue par le champ électrique.
r(t) = r 0 + r 1 + ... → r 0 (t) = −
q
mv 2 E cos(vt)
Le terme suivant doit prendre en compte l’inhomogénéité du champ électrique et la
force de Laplace magnétique.
m
q
d
2
r 1
dt 2 = r 0 (t)·∇E cos(vt) +
dr 0
dt
× B cos(vt)
Compte tenu de l’identité (E·∇) E = ∇
E
2
2
+E×
∂B
∂t
, la moyenne sur la phase rapide
vt de l’équation précédente permet d’obtenir un résultat similaire au cas précédent.
d
2
r 1
dt 2
= −
q
2
4m 2 v 2 ∇E
2
Ainsi l’expression de la force pondéromotrice d’un champ transverse est identique à
celle d’un champ longitudinal ; la particule est poussée des zones de champ fort
vers les zones de champ faible. La densité volumique de force pondéromotrice,
F p , est égale à la force (5.22) que multiplie la densité de particules n, faisant ainsi
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit