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5 • Interactions champs-particules
5.3 FORCE PONDÉROMOTRICE
Lorsque l’amplitude d’un champ oscillant est inhomogène, l’aller et le retour d’une
oscillation ne se compensent pas exactement. La somme de ces petites différences,
sur plusieurs oscillations, engendre une dérive qui est similaire à la dérive de gradient, c’est aussi un effet séculaire. En fait, cette non-compensation d’oscillations
légèrement biaisées par l’inhomogénéité de l’amplitude du champ ne se traduit pas
en termes de vitesse, mais en termes d’accélération. Le résultat final est une force : la
force pondéromotrice. Deux cas doivent être distingués : le cas des oscillations électriques longitudinales quasi-électrostatiques et le cas des oscillations transverses.
5.3.1 Champ longitudinal
Soit une particule chargée, de charge q et de masse m, interagissant avec une oscillation électrique longitudinale inhomogène E(x, t).
E(x, t) = E
1 +
x
L
cos (vt)
L’équation de son mouvement est donnée par :
d
2 x
dt 2 =
q E
m
cos(vt) +
q E
m L
x (t) cos(vt)
L’échelle de variation de l’amplitude du champ, L, est supposée grande devant l’amplitude des oscillations linéaires q E/mv
2 :
q E/mv
2
<< |L|. Cet ordering permet
d’introduire le petit paramètre ´ = q E/mv
2 L, et de chercher ensuite une solution
de l’équation du mouvement sous la forme d’un développement perturbatif en ´ :
x(t) = x 0 (t) + x 1 (t) + O
´
2
.... Sur la base de ce petit paramètre ´, l’amplitude
du champ peut aussi être développée et l’équation du mouvement devient alors une
hiérarchie d’équations ordonnées par les puissances de ´.
d
2 x 0
dt 2 =
q E
m
cos(vt),
d
2 x 1
dt 2 =
q E
m L
x 0 (t) cos(vt), ...
La solution à l’ordre zéro donne l’oscillation linéaire dans un champ d’amplitude
constante, et l’équation à l’ordre un fait apparaître la superposition d’un terme
constant et d’une oscillation à l’harmonique deux.
x 0 (t) = −
q E
mv 2 cos(vt)
d
2 x 1
dt 2 = −
q
2 E
2
m 2 v 2 L
cos
2 (vt) = −
q
2 E
2
2m 2 v 2 L
[1 + cos(2vt)]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
5 • Interactions champs-particules
5.3 FORCE PONDÉROMOTRICE
Lorsque l’amplitude d’un champ oscillant est inhomogène, l’aller et le retour d’une
oscillation ne se compensent pas exactement. La somme de ces petites différences,
sur plusieurs oscillations, engendre une dérive qui est similaire à la dérive de gradient, c’est aussi un effet séculaire. En fait, cette non-compensation d’oscillations
légèrement biaisées par l’inhomogénéité de l’amplitude du champ ne se traduit pas
en termes de vitesse, mais en termes d’accélération. Le résultat final est une force : la
force pondéromotrice. Deux cas doivent être distingués : le cas des oscillations électriques longitudinales quasi-électrostatiques et le cas des oscillations transverses.
5.3.1 Champ longitudinal
Soit une particule chargée, de charge q et de masse m, interagissant avec une oscillation électrique longitudinale inhomogène E(x, t).
E(x, t) = E
1 +
x
L
cos (vt)
L’équation de son mouvement est donnée par :
d
2 x
dt 2 =
q E
m
cos(vt) +
q E
m L
x (t) cos(vt)
L’échelle de variation de l’amplitude du champ, L, est supposée grande devant l’amplitude des oscillations linéaires q E/mv
2 :
q E/mv
2
<< |L|. Cet ordering permet
d’introduire le petit paramètre ´ = q E/mv
2 L, et de chercher ensuite une solution
de l’équation du mouvement sous la forme d’un développement perturbatif en ´ :
x(t) = x 0 (t) + x 1 (t) + O
´
2
.... Sur la base de ce petit paramètre ´, l’amplitude
du champ peut aussi être développée et l’équation du mouvement devient alors une
hiérarchie d’équations ordonnées par les puissances de ´.
d
2 x 0
dt 2 =
q E
m
cos(vt),
d
2 x 1
dt 2 =
q E
m L
x 0 (t) cos(vt), ...
La solution à l’ordre zéro donne l’oscillation linéaire dans un champ d’amplitude
constante, et l’équation à l’ordre un fait apparaître la superposition d’un terme
constant et d’une oscillation à l’harmonique deux.
x 0 (t) = −
q E
mv 2 cos(vt)
d
2 x 1
dt 2 = −
q
2 E
2
m 2 v 2 L
cos
2 (vt) = −
q
2 E
2
2m 2 v 2 L
[1 + cos(2vt)]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit