5.2 Dérives électromagnétiques
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Le cas de la divergence/convergence des lignes de champ (D) a déjà été traité dans
le paragraphe précédent, et la force diamagnétique, résultant de ce type d’inhomogénéité, identifiée et analysée (5.9, 5.10). Considérons maintenant les cas du gradient
(G) et de la courbure (C) ; les équations de Newton (5.16), où v c est la fréquence
cyclotron de la particule en (0, 0, 0), peuvent être résolues sur la base d’un schéma
perturbatif.
Gradient :
dV
dt
= v c V × u z + v c V ×
x
L
u z
(5.16)
Courbure :
dV
dt
= v c V × u z + v c V ×
z
R
u x
À l’ordre zéro, si la longueur de gradient L et le rayon de courbure R sont infinis,
c’est-à-dire si le champ est homogène, la solution n’est autre que la combinaison
d’une translation uniforme le long des lignes de champ et d’une rotation cyclotronique uniforme autour des lignes de champ.
L, R = ±∞ −→
dV
dt
= 0,
V ⊥ = V c (t)
Afin de calculer l’ordre suivant introduisons la variable complexe Z :
V ⊥ = V x u x + V y u y → Z = V x + j V y .
Les équations de Newton s’écrivent alors :
Gradient :
dZ
dt
+ jv c Z = − jv c Z
x
L
Courbure :
dZ
dt
+ jv c Z = jv c V
z
R
Les solutions de ces deux équations différentielles sont aussi solutions des deux
équations intégrales :
Z(t) = V c exp [− jv c t]
Vc(t)
− j
v c
L
exp (− jv c t)
t
0
exp ( jv c u) Z (u) x (u) du
Z(t) = V c exp [− jv c t]
Vc(t)
+ j
v c
R
exp (− jv c t)
t
0
exp ( jv c u) V (u) z(u)du
Les premiers termes des membres de droite décrivent le mouvement cyclotronique ;
les termes suivant décrivent les effets d’inhomogénéité, à l’ordre un nous y substituons la solution à l’ordre zéro : Z(u) = V c exp (− jv c u), x (u) =
V c
v c
sin (v c u),
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