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5 • Interactions champs-particules
Compte tenu de la relation ∇·B = 0, il existe, a priori, 9 − 1 = 8 longueurs de
gradients indépendantes caractérisant l’inhomogénéité du champ. Ce résultat doit
être mis en correspondance avec une analyse géométrique afin de dégager la signification des différents éléments de matrice et des differentes longueurs de gradient
pour réduire le problème à l’identification de quatre types d’inhomogéneités, dites
canoniques, que nous étudierons séparément : le gradient, la courbure, la divergence/convergence et le cisaillement.
Considérons successivement les différents éléments de la matrice ∇B et mettons
en correspondance ces éléments de matrice avec des configurations canoniques de
champs illustrées par les figures 5.5 et 5.7.
B
C
=
G
D
Figure 5.5 Décomposition canonique d’un champ quelconque, gradient (G),
courbure (C) et divergence/convergence (D).
• Gradient : les lignes de champ restent parallèles à u z et B ne dépend que de x ou
y ; cette configuration est caractérisée par deux nombres, les longueurs de gradient
suivant x et y : L et D.
0, 0, B
1 +
x
L
,
0, 0, B
1 +
y
D
→
⎡
⎣
0
0
0
0
0
0
B L
−1 B D
−1 0
⎤
⎦
C’est la composante (G) sur la figure 5.5.
• Courbure : les lignes de champ sont des arcs de cercles concentriques dans les
plans x ou y ; cette configuration est caractérisée par deux nombres, les deux
rayons de courbure suivant x ou y : R et S.
B
z
R
, 0, B
,
0, B
z
S
, B
→
⎡
⎣
0 0 B R
−1
0 0 B S
−1
0 0 0
⎤
⎦
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