5.2 Dérives électromagnétiques
157
du mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique statique inhomogène B(r).
m
d
2
r
dt 2 = q
dr
dt
× B(r)
Afin de résoudre ce problème, nous supposerons que les échelles des variations spatiales du champ vérifient un ordering adiabatique.
Le rayon de Larmor sera supposé plus petit que les longueurs de gradient
caractéristiques dans le plan perpendiculaire au champ, et le rapport de la
vitesse parallèle au champ sur la fréquence cyclotron plus petit que la longueur de gradient parallèle.
Si le champ est représenté par une amplitude B et un vecteur directeur unitaire
b, B(x, y, z) = B(x, y, z)b(x, y, z), dans un système de coordonnées cartésiennes
(x, y, z) associé à une base orthonormée directe (u x , u y , u z ) où l’axe des z est
choisi tangent à la ligne de champ à l’origine : b(x = 0, y = 0, z = 0) = u z et
B(x = 0, y = 0, z = 0) = B, alors les hypothèses d’adiabaticité se traduisent par :
r L
∂ B
∂x
B,
r L
∂ B
∂ y
B,
V
∂ B
∂z
v c B
Sous ces hypothèses, le champ apparaît localement (presque) homogène à la particule
qui effectue un grand nombre de rotations cyclotroniques avant d’explorer, sur des
échelles de temps longues, les variations spatiales du champ en accumulant de petites
déviations du mouvement cyclotronique dues à ces variations ; nous étudions donc
ce que les mécaniciens célestes nomment des effets séculaires : une légère déviation
(par exemple 1%) d’un mouvement périodique, qui, par accumulation sur un grand
nombre de périodes (par exemple 100), induit un effet significatif (100 × 1% = 1).
La figure 5.5 présente la décomposition d’un champ inhomogène en la somme d’un
champ homogène plus un ensemble d’inhomogénéités canoniques que nous allons
identifier et étudier. Au voisinage d’un point r = 0, pris comme référence, le champ
peut être développé en une série de Taylor :
B (r + dr) = B (r) + dr·∇B| r + dr·∇∇B| r ·dr + ....
La matrice des dérivées partielles ∇B| r décrit la structure local du champ.
B = Bu z +
u x u y u z
·
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
∂ B x
∂x
∂ B x
∂ y
∂ B x
∂z
∂ B y
∂x
∂ B y
∂ y
∂ B y
∂z
∂ B z
∂x
∂ B z
∂ y
∂ B z
∂z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
·
⎡
⎣
dx
dy
dz
⎤
⎦ + ...
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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du mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique statique inhomogène B(r).
m
d
2
r
dt 2 = q
dr
dt
× B(r)
Afin de résoudre ce problème, nous supposerons que les échelles des variations spatiales du champ vérifient un ordering adiabatique.
Le rayon de Larmor sera supposé plus petit que les longueurs de gradient
caractéristiques dans le plan perpendiculaire au champ, et le rapport de la
vitesse parallèle au champ sur la fréquence cyclotron plus petit que la longueur de gradient parallèle.
Si le champ est représenté par une amplitude B et un vecteur directeur unitaire
b, B(x, y, z) = B(x, y, z)b(x, y, z), dans un système de coordonnées cartésiennes
(x, y, z) associé à une base orthonormée directe (u x , u y , u z ) où l’axe des z est
choisi tangent à la ligne de champ à l’origine : b(x = 0, y = 0, z = 0) = u z et
B(x = 0, y = 0, z = 0) = B, alors les hypothèses d’adiabaticité se traduisent par :
r L
∂ B
∂x
B,
r L
∂ B
∂ y
B,
V
∂ B
∂z
v c B
Sous ces hypothèses, le champ apparaît localement (presque) homogène à la particule
qui effectue un grand nombre de rotations cyclotroniques avant d’explorer, sur des
échelles de temps longues, les variations spatiales du champ en accumulant de petites
déviations du mouvement cyclotronique dues à ces variations ; nous étudions donc
ce que les mécaniciens célestes nomment des effets séculaires : une légère déviation
(par exemple 1%) d’un mouvement périodique, qui, par accumulation sur un grand
nombre de périodes (par exemple 100), induit un effet significatif (100 × 1% = 1).
La figure 5.5 présente la décomposition d’un champ inhomogène en la somme d’un
champ homogène plus un ensemble d’inhomogénéités canoniques que nous allons
identifier et étudier. Au voisinage d’un point r = 0, pris comme référence, le champ
peut être développé en une série de Taylor :
B (r + dr) = B (r) + dr·∇B| r + dr·∇∇B| r ·dr + ....
La matrice des dérivées partielles ∇B| r décrit la structure local du champ.
B = Bu z +
u x u y u z
·
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
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∂ B x
∂x
∂ B x
∂ y
∂ B x
∂z
∂ B y
∂x
∂ B y
∂ y
∂ B y
∂z
∂ B z
∂x
∂ B z
∂ y
∂ B z
∂z
⎤
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