5.2 Dérives électromagnétiques
155
E(t), plus une solution particulière de l’équation avec second membre E(t).
Z(t) =Z(t 0 ) exp [− jv c (t − t 0 )]
Vc(t)
+
t
t0
exp [− jv c (t − u)] E(u)du
Le premier terme du second membre de cette relation décrit le mouvement cyclotronique autour des lignes de champ magnétique en l’absence de champ électrique.
Le deuxième terme décrit l’effet du champ électrique et peut être analysé en terme
de vitesses de dérive. Considérons une situation où le champ électrique varie de
manière significative sur une échelle de temps plus longue que l’inverse de la fréquence cyclotron, et telle que E(t = −∞) = 0 et dE(t = −∞)/dt = 0. L’intégrale
décrivant l’effet du champ électrique peut être sommée deux fois par partie afin de
faire apparaître un développement en d
n
E/dt
n
Ev
n
c , qui, compte tenu de la lenteur de
l’évolution du champ E(t) à l’échelle de la fréquence cyclotron, est un petit paramètre
approprié pour un développement perturbatif.
t
−∞
exp ( jv c u) E(u)du =
exp ( jv c u)
jv c
E(u)
t
−∞
+
exp ( jv c u)
v 2
c
dE(u)
du
t
−∞
+ ...
L’hypothèse d’évolution lente au regard de l’échelle cyclotronique est aussi appelée
hypothèse d’adiabaticité. Sous cette hypothèse d’adiabaticité, nous obtenons donc le
développement en puissance du petit paramètre
d
n
E
Ev n
c dt n :
t
−∞
exp [− jv c (t − u)] E(u)du =
E(t)
jv c
+
1
v 2
c
dE(t)
dt
+ ...
Le premier terme de ce développement est appelé dérive électrique de champs
croisés, V E ; le deuxième terme est appelé dérive de polarisation, V P , car, contrairement au premier terme, des espèces de charges différentes ont des vitesses différentes, ce qui induit une polarisation du plasma.
V E (t) =
E ⊥ × B
B 2 ,
V P (t) =
1
B
1
v c
dE ⊥
dt
(5.13)
Ces deux dérives électriques, champs croisés et polarisation, se superposent au mouvement cyclotronique décrit précédemment. Le mouvement d’une particule chargée
est donc donné par :
V ⊥ (t) = V c (t) + V E (t) + V P (t) + ...
(5.14)
La figure 5.4 illustre la nature des orbites en présence d’une dérive de champs croisés ; la combinaison d’une rotation et d’une translation dessine une cycloïde, on voit
ainsi que le vieux problème de la roulette de Pascal est aussi d’intérêt en physique
des plasmas.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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E(t), plus une solution particulière de l’équation avec second membre E(t).
Z(t) =Z(t 0 ) exp [− jv c (t − t 0 )]
Vc(t)
+
t
t0
exp [− jv c (t − u)] E(u)du
Le premier terme du second membre de cette relation décrit le mouvement cyclotronique autour des lignes de champ magnétique en l’absence de champ électrique.
Le deuxième terme décrit l’effet du champ électrique et peut être analysé en terme
de vitesses de dérive. Considérons une situation où le champ électrique varie de
manière significative sur une échelle de temps plus longue que l’inverse de la fréquence cyclotron, et telle que E(t = −∞) = 0 et dE(t = −∞)/dt = 0. L’intégrale
décrivant l’effet du champ électrique peut être sommée deux fois par partie afin de
faire apparaître un développement en d
n
E/dt
n
Ev
n
c , qui, compte tenu de la lenteur de
l’évolution du champ E(t) à l’échelle de la fréquence cyclotron, est un petit paramètre
approprié pour un développement perturbatif.
t
−∞
exp ( jv c u) E(u)du =
exp ( jv c u)
jv c
E(u)
t
−∞
+
exp ( jv c u)
v 2
c
dE(u)
du
t
−∞
+ ...
L’hypothèse d’évolution lente au regard de l’échelle cyclotronique est aussi appelée
hypothèse d’adiabaticité. Sous cette hypothèse d’adiabaticité, nous obtenons donc le
développement en puissance du petit paramètre
d
n
E
Ev n
c dt n :
t
−∞
exp [− jv c (t − u)] E(u)du =
E(t)
jv c
+
1
v 2
c
dE(t)
dt
+ ...
Le premier terme de ce développement est appelé dérive électrique de champs
croisés, V E ; le deuxième terme est appelé dérive de polarisation, V P , car, contrairement au premier terme, des espèces de charges différentes ont des vitesses différentes, ce qui induit une polarisation du plasma.
V E (t) =
E ⊥ × B
B 2 ,
V P (t) =
1
B
1
v c
dE ⊥
dt
(5.13)
Ces deux dérives électriques, champs croisés et polarisation, se superposent au mouvement cyclotronique décrit précédemment. Le mouvement d’une particule chargée
est donc donné par :
V ⊥ (t) = V c (t) + V E (t) + V P (t) + ...
(5.14)
La figure 5.4 illustre la nature des orbites en présence d’une dérive de champs croisés ; la combinaison d’une rotation et d’une translation dessine une cycloïde, on voit
ainsi que le vieux problème de la roulette de Pascal est aussi d’intérêt en physique
des plasmas.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit